Chapter 13 Forming Coalitions
用特征函数、核心、Shapley 值和紧凑表示分析联盟收益与分配稳定性。
学习目标
- 能用特征函数计算联盟收益
- 能判断核心是否为空并解释含义
- 能用 Shapley 值分配收益
为什么必须先冻结联合模型
先预测：三人合作中贡献最大者一定分得最多吗？带着判断进入本页。
用特征函数、核心、Shapley 值和紧凑表示分析联盟收益与分配稳定性。 合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。 本页不以单个代理“看起来聪明”为通过条件，而是检查联合状态、偏离动机、失败传播和可重放证据。
直觉、对象与计算合同
贯穿场景是：三名运输代理共享路线，枚举八个联盟价值并分配节省。参与者、可观察信息、行动集、偏好或目标、环境转移、协议版本和终止条件必须在运行前固定，不能在看到结果后修改效用或阈值。
公式用于公开关系与前提，不替代正式证明或实证测量。公平分配可能不在核心，稳定分配也可能不满足选定公平公理。 本页重点防范：联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离。
v(S) 给出联盟 S 可获价值：超可加性假设下大联盟最优，但分配是难题。
正式目录节点：解释与联合验证
下列目录节点逐项映射到解释、页面专属实验和章末答案。每个节点都必须指出它改变哪个联合状态以及什么观测会推翻结论；单纯出现术语不计覆盖。
Chapter 13 Forming Coalitions
“Chapter 13 Forming Coalitions”连接联盟价值、稳定或贡献分配，需要枚举最小实例并检查脱离动机。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查合作博弈；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.1 Cooperative Games
“13.1 Cooperative Games”细化本单元的正式问题，需要映射到参与者、信息、行动、结果和失败边界。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查核心；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.1.1 The Core
“13.1.1 The Core”连接联盟价值、稳定或贡献分配，需要枚举最小实例并检查脱离动机。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查Shapley值；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.1.2 The Shapley Value
“13.1.2 The Shapley Value”连接联盟价值、稳定或贡献分配，需要枚举最小实例并检查脱离动机。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查紧凑表示；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.2 Computational and Representational Issues
“13.2 Computational and Representational Issues”细化本单元的正式问题，需要映射到参与者、信息、行动、结果和失败边界。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查联盟结构；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.3 Modular Representations
“13.3 Modular Representations”细化本单元的正式问题，需要映射到参与者、信息、行动、结果和失败边界。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查合作博弈；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.3.1 Induced Subgraphs
“13.3.1 Induced Subgraphs”细化本单元的正式问题，需要映射到参与者、信息、行动、结果和失败边界。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查核心；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.3.2 Marginal Contribution Nets
“13.3.2 Marginal Contribution Nets”细化本单元的正式问题，需要映射到参与者、信息、行动、结果和失败边界。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查Shapley值；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.4 Representations for Simple Games
“13.4 Representations for Simple Games”细化本单元的正式问题，需要映射到参与者、信息、行动、结果和失败边界。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查紧凑表示；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.4.1 Weighted Voting Games
“13.4.1 Weighted Voting Games”聚合个体偏好，必须保留完整排序、议程与平票规则后才能重算。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查联盟结构；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.4.2 Network Flow Games
“13.4.2 Network Flow Games”连接联盟价值、稳定或贡献分配，需要枚举最小实例并检查脱离动机。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查合作博弈；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.5 Coalitional Games with Goals
“13.5 Coalitional Games with Goals”连接联盟价值、稳定或贡献分配，需要枚举最小实例并检查脱离动机。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查核心；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
13.6 Coalition Structure Formation
“13.6 Coalition Structure Formation”连接联盟价值、稳定或贡献分配，需要枚举最小实例并检查脱离动机。 在“合作博弈为每个联盟赋值；核心要求任何联盟都无脱离收益，Shapley 值按所有加入顺序平均边际贡献，二者回答稳定与公平的不同问题。”这条联合因果链中，本节点重点检查Shapley值；只改变一个条件并保存联合轨迹，若出现“联盟总收益足够，却因分配让子联盟更愿意脱离”，就在首个分叉停止。
常见误区
术语
小结
- 特征函数为每个联盟赋值
- 核心要求任何联盟都无脱离收益
- Shapley值按所有加入顺序平均边际贡献
- 稳定与公平回答不同问题，不可互相替代
- 紧凑表示降低联盟价值计算的复杂度
容易踩的坑
误区 1
现象 → 假设大联盟天然稳定 原因 → 小团体退出拆台 修法 → 检查核心是否非空
误区 2
现象 → 分配按贡献平均 原因 → 边际贡献被平均稀释 修法 → 用 Shapley 值按边际贡献分配
误区 3
现象 → 忽略紧凑表示 原因 → 联盟计算爆炸 修法 → 用紧凑表示压缩特征函数
练习与答案
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练习
练习
问题 1： Shapley 值如何分配联盟收益？
问题 2： 核心为空意味着什么？
问题 3： 计算一个三人合作博弈的 Shapley 值。（独立实现）