PBR 理论、微表面 BRDF 与能量分配

为什么同一个球换种材料，看起来就完全不同

用手机拍一张塑料杯和一张不锈钢杯。塑料杯身上有一大片柔和的白色亮斑，杯面颜色是杯子本身的颜色；不锈钢杯上高光又小又亮，杯面反射的是周围环境的颜色而不是金属自己的颜色。两种杯子被同一束光照着，高光形状和颜色来源却完全不同。

上一篇的冯氏/布林-冯氏光照只有一个「反光度」参数，金属和塑料的区别全靠手调，经验多了才大概像。工业界早就发现：真实材质的反光行为是可以用几条物理规律写成公式的——不用猜参数，只要告诉公式「它多粗糙、是不是金属」，高光形状和颜色就能自动算对。

这一章要做的就是：把那几条物理规律拆开、每一项弄清楚它在算什么。读完后你就有了一把「物理尺子」，能度量任何材质的反光行为，而不再靠调反光度蒙。

微表面模型：每块表面都是无数小镜子

所有 PBR 的起点是一条假设：任何表面，无论看起来多平整，放大到微观层面都是由无数朝向各异的微小镜面组成的。每一面微镜只做一件事——把打到它身上的光按镜面反射定律弹出去。这就是微表面模型。

那宏观上为什么有的表面高光清晰、有的模糊？关键是这些微镜朝向的一致性。光滑表面的微面几乎都朝同一个方向——入射光被统一弹到同一侧，你看到一个小而亮的高光斑；粗糙表面的微面朝向杂乱——光被散射到四面八方，高光变得又大又淡。粗糙度（roughness）就是度量这种「混乱程度」的参数：

能量守恒：出去的光不能比进来的多

微表面模型还隐含一条硬约束：能量守恒——一束光打到表面，反射出去的 + 折射进去的（被吸收或散射成漫反射）= 打进来的，绝不能凭空多出光来。

把这条约束翻译成系数：镜面反射占比 $k_s$、漫反射占比 $k_d$，则 $k_s + k_d = 1$。高光越强，漫反射就越弱——这就是你看到的「金属表面几乎全是反射、看不到自身颜色」的原因（$k_s$ 很大→ $k_d$ 很小→漫反射几乎没有）。

反射率方程：把半球上所有来光加起来

现在要量化「一个点 $p$ 朝你的眼睛方向 $\omega_o$ 发出多少光」。直觉上：从表面上方半球 $\Omega$ 的每个方向 $\omega_i$ 都可能有光射过来，每一份入射光经过表面的 BRDF $f_r$ 反射后，有一部分沿 $\omega_o$ 方向出去。把所有方向的贡献积分起来，就是反射率方程：

$L_o(p,\omega_o) = \int_\Omega f_r(p,\omega_i,\omega_o) \; L_i(p,\omega_i) \; (n \cdot \omega_i) \; d\omega_i$

• $L_o$：点 $p$ 朝 $\omega_o$ 出射的辐射度（就是「有多亮」）
• $f_r$：BRDF——衡量 $\omega_i$ 方向的光有多少沿 $\omega_o$ 方向弹出去
• $L_i$：从 $\omega_i$ 方向射来的入射辐射度
• $n \cdot \omega_i$：余弦项——光线越正对表面（夹角小），有效照射面积越大

Cook-Torrance BRDF：漫反射 + 镜面反射

现在给 $f_r$ 一个具体的实现。Cook-Torrance 把 BRDF 拆成两部分相加——一份漫反射、一份镜面反射：

$f_r = k_d \frac{c}{\pi} + k_s \frac{DFG}{4(\omega_o \cdot n)(\omega_i \cdot n)}$

• 左半 $k_d \cdot c/\pi$：Lambertian 漫反射。$c$ 是反照率颜色（albedo），除以 $\pi$ 是归一化（保证半球积分 = $c$）
• 右半 $k_s \cdot DFG / 4(\omega_o \cdot n)(\omega_i \cdot n)$：Cook-Torrance 镜面项。$D$、$F$、$G$ 三个函数分别描述微表面的三种物理效应。分母 $4(\omega_o \cdot n)(\omega_i \cdot n)$ 是归一化校正

下面三节逐一拆开 $D$、$G$、$F$。

单步确认：BRDF 每一项各管什么

公式很长时，先按因果顺序检查它，而不是把 D、G、F 当成三个可以随意调的高光旋钮。

法线分布函数 D：有多少微面对齐了半程向量

$D$（NDF（法线分布函数））回答一个问题：在所有微面中，法线恰好朝向半程向量 $h$ 的有多大比例？ 只有那些法线对齐 $h$ 的微面才能把入射光精确反射到你的眼睛方向——$D$ 越大，这种微面越多，高光越亮。

猜一猜：下面三张图分别对应粗糙度 0.1、0.5、1.0。你觉得哪一张的 NDF 曲线最「尖」（集中在正中间）、哪一张最「平」（分散到两侧）？尖的对应什么样的高光？

粗糙度低 → 微面朝向集中 → NDF 是窄而高的尖峰 → 高光小而亮。粗糙度高 → 微面朝向分散 → NDF 是宽而矮的丘 → 高光大而暗。

几何函数 G：有多少微面被邻居挡住了

光打到微面上反射出去，但这份反射光未必能到你眼里——因为邻近的微面可能挡在中间。几何函数 $G$ 就是估算这种自遮蔽有多严重。遮蔽来自两个方向：

• 遮蔽（Masking）：反射光朝你飞来，但被旁边凸起的微面挡住——你看不到
• 阴影（Shadowing）：入射光朝这块微面飞来，但被旁边凸起的微面挡住——光照不到

Smith 的做法很直觉：两个方向各算一遍遮蔽比例，再乘起来——$G(n,v,l,k) = G_{sub}(n,v,k) \cdot G_{sub}(n,l,k)$。表面越粗糙，微面凸起越多，遮蔽越严重，$G$ 越小。

菲涅尔方程 F：角度越斜反射越强

最后一项 $F$ 描述的是一个日常也能观察到的现象：你从越斜的角度看一个表面，它反射越强。站在湖边正下方看水，水是透明的（反射弱）；远眺湖面，水面像镜子一样反射天空（反射强）。这就是菲涅尔效应。

$F_0$ 是材质在正看（0°）时的基础反射率。电介质（非金属）的 $F_0$ 普遍很低（约 0.04），金属的 $F_0$ 很高且有颜色（等于 albedo）。但不管 $F_0$ 多低，掠射角时都会飙升到接近 1：

金属与非金属：一个 metallic 参数的两条路

理论上 PBR 已经完整了，但实际使用时有个关键简化：绝大多数材质要么是金属、要么是非金属，很少有「半金属」。于是引入一个 metallic 参数在两条路之间切换：

• metallic = 0（非金属）：$F_0$ 固定 ≈ 0.04，漫反射 = albedo 颜色（你看到球本身的红色/蓝色），镜面几乎白色
• metallic = 1（金属）：$F_0$ = albedo 颜色，漫反射 = 0（折射光全被金属内部的自由电子吸收），镜面反射带颜色（金色金属反射金色光）

数学推导：从方程到每一项

符号表

反射率方程

出发点：点 $p$ 朝 $\omega_o$ 的出射辐射度等于上半球所有入射方向的贡献之和：

$L_o(p,\omega_o) = \int_\Omega f_r(p,\omega_i,\omega_o) \; L_i(p,\omega_i) \; (n \cdot \omega_i) \; d\omega_i$

人话翻译：把半球每个方向飞来的光 $L_i$ 乘以「BRDF 说这个方向的光有多少会沿 $\omega_o$ 出去」再乘以「光线越正对表面有效面积越大」的余弦权重，全部加起来。

Cook-Torrance BRDF

把 $f_r$ 拆成漫反射 + 镜面反射两部分：

$f_r = k_d \frac{c}{\pi} + k_s \frac{DFG}{4(\omega_o \cdot n)(\omega_i \cdot n)}$

人话翻译：左半是 Lambertian 漫反射——光均匀散射到所有方向，亮度只取决于颜色 $c$；右半是 Cook-Torrance 镜面——$D$ 说有多少微面对齐了 $h$，$F$ 说当前角度反射占多大比例，$G$ 说有多少微面没被挡住，分母做归一化。

GGX 法线分布函数 D

$D(n,h,\alpha) = \frac{\alpha^2}{\pi\big((n \cdot h)^2(\alpha^2 - 1) + 1\big)^2}$

人话翻译：$n \cdot h$ 是法线和半程向量的贴合度（1=完美对齐）。$\alpha$ 小时分母的平方项极大地压低了偏离对齐处的值→尖峰；$\alpha$ 大时分母变得平缓→宽丘。分子的 $\alpha^2$ 保证积分归一化。

Schlick-GGX 几何函数 G

先定义单方向的 $G_{sub}$：

$G_{\text{SchlickGGX}}(n,v,k) = \frac{n \cdot v}{(n \cdot v)(1-k)+k}$

人话翻译：$n \cdot v$ 是表面法线与方向 $v$ 的余弦。$k$ 越大（粗糙度越高），分母比分子增长得更快→$G$ 越小→遮蔽越严重。当 $k=0$（完美光滑），$G=1$（无遮蔽）。

Smith 方法把观察方向和光线方向各算一遍再乘：

$G(n,v,l,k) = G_{\text{sub}}(n,v,k) \cdot G_{\text{sub}}(n,l,k)$

其中 $k$ 的取法随场景不同：直接光照用 $k = (\alpha + 1)^2 / 8$，IBL 用 $k = \alpha^2 / 2$。

Fresnel-Schlick 近似

$F(h,v,F_0) = F_0 + (1 - F_0)(1 - (h \cdot v))^5$

人话翻译：$h \cdot v$ 是半程向量与观察方向的余弦——正看时 $h \cdot v \approx 1$，$(1-h \cdot v)^5 \approx 0$，反射率 ≈ $F_0$（基础值）；掠射时 $h \cdot v \to 0$，$(1-h \cdot v)^5 \to 1$，反射率 → $F_0 + (1-F_0) = 1$（全反射）。五次方决定了「从 $F_0$ 到 1 的爬升集中在最后那段掠射角」。

合起来：代入积分

把上面各项代回反射率方程的积分里：

$L_o(p,\omega_o) = \int_\Omega \bigg(k_d\frac{c}{\pi} + k_s\frac{DFG}{4(\omega_o \cdot n)(\omega_i \cdot n)}\bigg) L_i(p,\omega_i) \; (n \cdot \omega_i) \; d\omega_i$

人话翻译：这就是最终要在片段着色器里算的东西。对于直接光源（点光/方向光），积分退化成有限次求和——每盏灯一份贡献，循环累加即可。下一章（PBR 光照）就是把这个公式写成 GLSL。

亲手拖一拖：D / G / F 三条曲线

猜一猜：把粗糙度从 0.1 拉到 0.8，哪条曲线变化最剧烈？切换到金属模式，Fresnel 曲线的起点会跳到多高？

上面三条曲线正是 Cook-Torrance BRDF 里的三个核心函数。拖动粗糙度滑块，观察 D 曲线（蓝色）从窄尖峰变成宽矮丘——这就是高光从「小而亮」到「大而暗」的数学原因。G 曲线（绿色）在粗糙度升高时整体下降，说明遮蔽更严重。F 曲线（橙色）切换到金属后起点从 0.04 跳到 0.7，解释了金属为什么正看也有强反射。

代码对照：D / G / F 的 GLSL 实现

下面是 Cook-Torrance 三个子函数的 GLSL 片段。下一章「PBR 光照」会把它们组合起来在真实场景中跑，这里先看每个函数怎么把公式翻译成代码：

// ======== D：GGX / Trowbridge-Reitz 法线分布函数 ========
// 输入：法线 N、半程向量 H、粗糙度 roughness
// 输出：D 值（微面对齐 H 的统计密度）
float DistributionGGX(vec3 N, vec3 H, float roughness) {
    float a  = roughness * roughness;       // alpha = roughness^2（业界约定先平方一次，手感更线性）
    float a2 = a * a;                       // alpha^2
    float NdotH  = max(dot(N, H), 0.0);    // N . H，截到 0 防负
    float NdotH2 = NdotH * NdotH;
    // 公式分母：pi * ((NdotH^2)*(a2-1)+1)^2
    float denom = NdotH2 * (a2 - 1.0) + 1.0;
    denom = 3.14159265 * denom * denom;
    return a2 / denom;                      // alpha^2 / denom
}
// ======== G：Schlick-GGX 几何遮蔽（单方向） ========
// 输入：N . 方向 的余弦 NdotV、重映射系数 k
// 输出：G_sub 值（该方向未被遮挡的比例）
float GeometrySchlickGGX(float NdotV, float k) {
    return NdotV / (NdotV * (1.0 - k) + k);
}
// Smith 方法：观察方向 + 光线方向各算一遍再相乘
float GeometrySmith(vec3 N, vec3 V, vec3 L, float roughness) {
    float r = roughness + 1.0;
    float k = (r * r) / 8.0;               // 直接光照的 k 重映射
    float NdotV = max(dot(N, V), 0.0);
    float NdotL = max(dot(N, L), 0.0);
    return GeometrySchlickGGX(NdotV, k) * GeometrySchlickGGX(NdotL, k);
}
// ======== F：Fresnel-Schlick 近似 ========
// 输入：半程向量与观察方向余弦 cosTheta、基础反射率 F0
// 输出：当前角度的反射率（vec3，金属有色所以是三通道）
vec3 fresnelSchlick(float cosTheta, vec3 F0) {
    return F0 + (1.0 - F0) * pow(clamp(1.0 - cosTheta, 0.0, 1.0), 5.0);
}

逐函数对照：

1. DistributionGGX 直接翻译 $D = \alpha^2 / \pi((n \cdot h)^2(\alpha^2-1)+1)^2$。注意 roughness 先平方一次变成 $\alpha$（业界约定），再平方得 $\alpha^2$
2. GeometrySchlickGGX 翻译 $G_{sub} = (n \cdot v) / ((n \cdot v)(1-k)+k)$。直接光照的 $k = (\text{roughness}+1)^2/8$
3. fresnelSchlick 翻译 $F = F_0 + (1-F_0)(1-\cos\theta)^5$。输入是 cosTheta = h . v；返回 vec3 因为金属的 $F_0$ 有颜色

常见误区

小结与练习

这一章从微表面模型出发，经过能量守恒约束，推导出了完整的 Cook-Torrance BRDF 反射率方程。三个核心函数 D/G/F 分别量化了「多少微面对齐半程向量」「多少微面没被遮挡」「当前角度反射占多大比例」。加上 metallic 工作流区分金属/非金属，就构成了 PBR 的完整理论基础。下一章将把这些公式写进 GLSL，在真实场景里点灯看效果。

版本、来源与运行边界

本章以 Joey de Vries 的 LearnOpenGL 原章 为授权改编依据，教学运行基线是 OpenGL 3.3 Core Profile。Khronos 当前发布的规范参照是 OpenGL 4.6 Core Profile；这里用 4.6 规范核查术语和状态合同，但不把 4.6 API 偷偷倒填为原教程内容。GLFW、GLAD、Assimp 与驱动版本都属于运行环境，不能拿“编译通过”替代对 context、资源和 framebuffer 结果的验证。

正式概念与状态责任

• microfacet：在“PBR 理论、微表面 BRDF 与能量分配”中由BRDF 求值合同与材质参数负责解释其输入、受控状态和可观察结果；运行时以材质输入、Ndot*、D/G/F、kD/kS、BRDF 分量与极端参数检查定位它的第一处变化。
• energy conservation：在“PBR 理论、微表面 BRDF 与能量分配”中由BRDF 求值合同与材质参数负责解释其输入、受控状态和可观察结果；运行时以材质输入、Ndot*、D/G/F、kD/kS、BRDF 分量与极端参数检查定位它的第一处变化。
• brdf：在“PBR 理论、微表面 BRDF 与能量分配”中由BRDF 求值合同与材质参数负责解释其输入、受控状态和可观察结果；运行时以材质输入、Ndot*、D/G/F、kD/kS、BRDF 分量与极端参数检查定位它的第一处变化。
• cook-torrance：在“PBR 理论、微表面 BRDF 与能量分配”中由BRDF 求值合同与材质参数负责解释其输入、受控状态和可观察结果；运行时以材质输入、Ndot*、D/G/F、kD/kS、BRDF 分量与极端参数检查定位它的第一处变化。

章专属 OpenGL 状态实验

先预测“由材质参数求 D/G/F，分配 diffuse/specular 能量并计算 BRDF”发生后，BRDF 求值合同与材质参数应怎样改变normal/view/light/half vectors、roughness、metallic、F0、D/G/F、kD/kS 和分母；再操作三个实验。实验不生成变化率或正确率等虚构总分，只显示真实 GL 状态、资源、命令和可观察结果。

实验一：Context—资源—结果合同

选择任一正式概念与基线/单故障场景，核对它是否进入本章状态合同。正式概念只有同时出现在解释、可视状态和交付证据中才算覆盖。

实验二：CPU 命令到 GPU 结果的五段轨迹

逐段执行“由材质参数求 D/G/F，分配 diffuse/specular 能量并计算 BRDF”，在每一步记录资源身份、状态变化与第一个可观察结果，并持续核对“kD+kS 不凭空增能；金属的 diffuse 贡献归零；分母避免零除”。

实验三：单故障与同输入恢复

注入“金属材质仍保留 Lambert diffuse，同时又计算有色镜面，反射能量重复”，保存首个分岔；撤销后沿用完全相同的 context、资源内容、uniform 和 draw 输入重放。只有材质输入、Ndot*、D/G/F、kD/kS、BRDF 分量与极端参数检查一起恢复才算修复。

最小可重放检查

unit: logl-39
owner: BRDF 求值合同与材质参数
state_or_resource: normal/view/light/half vectors、roughness、metallic、F0、D/G/F、kD/kS 和分母
command: 由材质参数求 D/G/F，分配 diffuse/specular 能量并计算 BRDF
pass_invariant: kD+kS 不凭空增能；金属的 diffuse 贡献归零；分母避免零除
single_fault: 金属材质仍保留 Lambert diffuse，同时又计算有色镜面，反射能量重复
required_evidence: 材质输入、Ndot*、D/G/F、kD/kS、BRDF 分量与极端参数检查

复核者先仅依据以上合同写出预期，再运行基线、单故障和清理后重放。若两次基线的资源身份、首个状态变化或 framebuffer 结果不同，必须保留差异，不能用最终截图相似掩盖中间状态错误。