GPU Gems 1 · Chapter 1. Effective Water Simulation from Physical Models

为什么水面需要两层模型

如果把所有细节都交给顶点几何，网格必须密到能够表达最短波，远处会浪费大量顶点；如果只保留法线贴图，水面轮廓和遮挡永远是平的。两层模型把低频形状交给几何，把高频方向交给纹理，正好对应 GPU 在顶点和像素阶段的不同采样能力。

目标：用少量参数让水面持续有生命

GPU Gems 第1章研究的是大到海湾、小到池塘的实时水面。系统把水面拆成两类互补信号：顶点阶段更新低频的几何起伏，像素阶段在 render target 中生成高频的动态法线贴图。两者都来自同一族周期函数，但服务于不同的采样尺度。

这不是严格求解 Navier–Stokes 方程的流体模拟，而是一个有物理依据、能在 GPU 上稳定运行的近似。正因为参数对应波长、振幅、速度和风向，艺术家可以脚本化地改变天气；正因为所有波都能独立推进，水面不会像平铺的一张静态贴图。

1. 用正弦波表示高度

先把水平面上的位置记为 X=(x,y)，时间记为 t。一条方向波可以写成：

其中 A_i 是振幅，D_i 是水平传播方向，S_i 是速度，φ_i 是初相位，ω_i 控制空间频率。用波长 L_i 时，常见的归一化约定会令空间频率与 1/L_i 成正比；实现中只要前后一致，关键是波峰间距和相位推进保持可控。

总高度是多条波的叠加：

这条函数同时给出每个水平位置的高度和表面朝向。几何网格只在顶点位置采样 H；比网格更细的变化则在纹理空间重新采样同类函数，生成动态法线。

参数不是装饰：它们决定观感

波长 决定尺度：长波负责海面的缓慢起伏，短波负责细碎波纹。 振幅 决定高度范围；振幅与波长的比例过大，波峰会显得不可信。 速度决定相位随时间如何移动； 方向把波与风向或水流联系起来。

为了让系统持续变化，可以让一条波逐渐淡出，再用新的一组参数淡入。每次重新生成都要同时约束波长、振幅和速度，否则独立随机会产生相互矛盾的视觉节奏。

2. 从高度场得到表面方向

令三维表面为：

对 x 与 y 求偏导，得到两个切向基向量：

两者的叉积给出未归一化的表面朝向：

这里的偏导数不是额外的近似采样，而是由显式高度函数直接计算。因为正弦函数的导数仍是正弦/余弦，H_x 与 H_y 仍然可以按波逐条累加。

从法线还能构造切线空间的基。对小波纹来说，逐像素更新法线比继续细分几何更划算；这就是为什么同一个高度模型会同时出现在顶点 shader 和像素 shader 中。

3. 几何波与纹理波分工

几何层只保留少量低频波：它改变轮廓、遮挡和水面与岸边的关系。纹理层叠加更多频率和方向的波，在 256×256 左右的 render target 中生成法线贴图。水面看起来丰富，主要依赖这层高频细节，而不是把主网格无限细分。

正弦波与 Gerstner 波

直接叠加正弦波的波峰比较圆，适合平静池塘。需要更尖的波峰和更宽的波谷时，可以使用Gerstner 波。它不只改变高度，还把顶点向波峰方向移动，因此能把采样点集中到高频特征附近。

Gerstner 波的陡峭度参数通常记为 Q。Q 太大时，波峰可能形成回环；生产工具应把它限制在安全范围，并让 Q 与波数、振幅和波的数量共同约束，而不是把它当作无上限的“尖锐度滑杆”。

方向波适合风驱动的大水面，方向向量在波的生命周期中保持稳定；圆形波适合瀑布落点或局部扰动，方向由波心指向顶点的向量实时归一化得到。两者共享同一套采样流程，差别在于方向来自常量还是来自空间位置。

4. 水深与网格边长进入 authoring

水面网格的顶点除了水平位置，还可以携带水底高度，从水面高度减去水底高度得到水深。水深可以同时控制透明度、反射强度和几何波幅：浅水区域更透明，靠岸处波幅逐渐衰减，顶点不会穿过岸线。

边长滤波与纹理坐标

局部网格边长决定几何层能表达的最短波长。若波长约为边长的四倍，通常可以保留完整响应；当波长接近边长的两倍时，应把响应衰减到零。这种边长滤波可以避免短波混叠，同时允许重要区域使用更密的三角形、远处区域使用更粗的网格。

普通池塘可以从顶点位置推导纹理坐标；蜿蜒河流则需要显式纹理坐标和切线空间变换，把纹理中的法线旋转到弯曲河道的世界空间。对每个顶点统一采用同一处理流程，差异只来自 authoring 数据和过滤参数。

5. GPU 运行时流水线

顶点阶段先计算几何波，按水深和边长对波幅衰减，再输出表面位置、切线空间基和与环境贴图相关的向量。像素阶段从动态法线贴图取样，把纹理空间法线变换到水面空间，用它查询环境反射，再和水本身的颜色、透明度合成。

一个高层伪代码如下：

vertex:
  depth = waterHeight - bottomHeight
  H, dHdx, dHdy = sumGeometricWaves(position, time, filteredParameters)
  normalBasis = basisFromPartials(dHdx, dHdy)
  emit displacedPosition, normalBasis, depth
 
pixel:
  detailNormal = sampleDynamicNormalMap(uv, time)
  worldNormal = transform(detailNormal, normalBasis)
  reflection = sampleEnvironment(worldNormal, correctedEyeVector)
  output = blend(waterColor(depth, viewAngle), reflection)

其中 correctedEyeVector 解决小水池环境贴图中心与观察点不一致的问题；对无限远天空，简单环境向量已经足够，对能看到对岸物体的池塘，则需要按水体范围修正反射方向。

6. 一次可验证的调参顺序

1. 先预测：只改变波长、振幅和速度时，你预期波峰间距、垂直高度和移动节奏分别如何变化；再固定四条几何波的波长和风向，确认轮廓移动稳定。
2. 再给每条波分配振幅和速度，检查振幅/波长比例与波峰形状。
3. 添加纹理波，先覆盖不同频率，再调整方向以避免重复图案。
4. 用水深衰减靠岸波幅，用边长滤波关闭网格无法表达的短波。
5. 最后调透明度、反射和 Fresnel 近似，避免把几何问题误判为材质问题。

本章回顾：一套有物理依据的近似

1. 水面可以用多条周期波的高度和来近似；参数对应波长、振幅、速度、方向和相位。
2. 高度场的两个偏导数直接给出切线空间基，从而得到法线和动态光照所需的方向。
3. 少量几何波负责轮廓，更多纹理波负责法线细节；两层不应互相替代。
4. Gerstner 波通过顶点水平位移提高波峰陡峭度，但陡峭度必须避免形成回环。
5. 水深控制靠岸衰减，边长滤波控制几何采样能力，二者都是 authoring 数据的一部分。
6. 顶点 shader 更新几何，像素 shader 生成法线并合成反射；GPU 承担计算，CPU 保留给游戏逻辑和 AI。

练习：从公式走到 shader

术语表