Hemispherical Coordinates

Hemispherical Coordinates：在半球方向域中正确表达立体角与积分测度，以公式、章专属交互和可重放故障证据独立重写。

学习目标

能说明Hemispherical Coordinates中的“在半球方向域中正确表达立体角与积分测度”，并指出公式中每个量的空间、单位或概率含义
能比较正常基线与“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”反例，定位采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数中的首个差异
能操作三个章专属实验，让hemispherical coordinates、solid angle、hemisphere integration同时具备解释、视觉和练习证据
能修改最小实现、固定输入重放，并判断“Hemispherical Coordinates的输入、公式中间量、输出与恢复结果可用同一基线复算”是否重新成立

从一个会失败的图像实验开始

Hemispherical Coordinates要回答的不是“这个名词是什么”，而是：在固定输入下，如何验证“在半球方向域中正确表达立体角与积分测度”，并让一个反例可重复地推翻错误实现？先写下预期像素、几何或估计量，再运行基线；只要采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数无法指出差异来自哪一步，图像看起来正确也不能通过。

本页的不变量是：Hemispherical Coordinates的输入、公式中间量、输出与恢复结果可用同一基线复算。反例“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”只改变一个条件，因而正常、故障与恢复三次运行应能用同一输入直接比较。

原版、版次与事实来源

Hemispherical Coordinates以作者官网和第二版104页浏览稿核对书名、作者、2006版次、目录、部分图文与公式，并以出版社书目交叉确认。浏览稿不是完整正文；课程用渲染方程原始论文与Veach论文核对技术事实后独立重写。

六个检查词

、、、、、。这些词共同约束在半球方向域中正确表达立体角与积分测度，每个词都必须落到公式、交互状态或可重放输出，不能只出现在术语表。

原书单元与独立机制解释

Hemispherical Coordinates

hemispherical coordinates 用极角θ与方位角φ表示法线上方方向，solid angle 的面积元为sinθ dθ dφ，hemisphere integration 因而不能把θ与φ都均匀采样后直接平均。

本单元的正式坐标是hemispherical coordinates、solid angle、hemisphere integration。验证Hemispherical Coordinates时，先制造“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”，再检查采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数能否把错误定位到在半球方向域中正确表达立体角与积分测度的首个分叉。

d\omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi,\qquad \int_{\Omega^+}d\omega=2\pi

先预测，再操作三个章专属实验

分步1 / 3

1. 概念与因果路径

在Hemispherical Coordinates中选择任一正式坐标，沿机制链查看它的输入、状态变化和可推翻探针。

路径空间与光传输事件

Hemispherical Coordinates

把在半球方向域中正确表达立体角与积分测度展开为传感器、散射、反弹与光源四类事件。

正式概念

Hemispherical Coordinates / hemispherical coordinates

hemispherical coordinates 用极角θ与方位角φ表示法线上方方向，solid angle 的面积元为sinθ dθ dφ，hemisphere integration 因而不能把θ与φ都均匀采样后直接平均。

传感器

选择像素与初始方向，定义最终测量。

探针：采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数

来源边界：Philip Dutré、Kavita Bala、Philippe Bekaert《Advanced Global Illumination》第二版。浏览稿与一手论文用于核对公式，课程交互不冒充原书图表。

最小可重现实验

double phi = 2*pi*u1;
double cosTheta = u2;
double sinTheta = sqrt(1-cosTheta*cosTheta);
vec3 w{cos(phi)*sinTheta, sin(phi)*sinTheta, cosTheta};
double pdf = 1/(2*pi);

运行Hemispherical Coordinates时固定随机种子、输入几何、坐标约定和数值精度；记录编译命令或算法版本、输出摘要与失败条件。实验输出若依赖隐藏全局状态，必须先消除该依赖再比较。

练习与答案

练习

问题 1：公式与边界。 怎样用一个数值样本证明 $d\omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi,\qquad \int_{\Omega^+}d\omega=2\pi$ 中的量没有混用空间、单位或概率密度？

问题 2：正式坐标。 hemispherical coordinates、solid angle、hemisphere integration如何进入可操作验证？

hemispherical coordinates：在专属实验中选中该节点，保存输入与采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数，注入“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”后恢复并重放。
solid angle：在专属实验中选中该节点，保存输入与采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数，注入“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”后恢复并重放。
hemisphere integration：在专属实验中选中该节点，保存输入与采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数，注入“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”后恢复并重放。

问题 3：故障恢复。 如何证明“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”已经真正修复？

本章回顾

掌握Hemispherical Coordinates意味着能将“在半球方向域中正确表达立体角与积分测度”写成明确公式或算法，能操作正式坐标，能制造“遗漏sinθ雅可比，或把余弦加权半球样本当成均匀样本”，还能凭采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数恢复同输入结果，而不是把一段Vulkan生命周期模板换上本章标题。

名词解释

本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。

hemispherical coordinates: hemispherical coordinates在Hemispherical Coordinates中用于在半球方向域中正确表达立体角与积分测度；应由采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数确认，而不是只凭术语出现。
solid angle: solid angle在Hemispherical Coordinates中用于在半球方向域中正确表达立体角与积分测度；应由采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数确认，而不是只凭术语出现。
hemisphere integration: hemisphere integration在Hemispherical Coordinates中用于在半球方向域中正确表达立体角与积分测度；应由采样分布、PDF、单位向量长度和半球积分常数确认，而不是只凭术语出现。
radiance: radiance：辐亮度沿无吸收直线保持，是光传输方程的基本方向量。
path throughput: path throughput：路径吞吐量累计每次散射、余弦、PDF与终止补偿。
pdf: pdf：概率密度必须与采样测度一致，才能正确形成蒙特卡洛权重。

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