Monte Carlo Methods

Monte Carlo Methods：把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值，以公式、章专属交互和可重放故障证据独立重写。

学习目标

能说明Monte Carlo Methods中的“把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值”，并指出公式中每个量的空间、单位或概率含义
能比较正常基线与“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”反例，定位PDF、样本、权重、批次均值和经验方差中的首个差异
能操作三个章专属实验，让monte carlo integration、sampling random variables、variance reduction同时具备解释、视觉和练习证据
能修改最小实现、固定输入重放，并判断“Monte Carlo Methods的输入、公式中间量、输出与恢复结果可用同一基线复算”是否重新成立

从一个会失败的图像实验开始

Monte Carlo Methods要回答的不是“这个名词是什么”，而是：在固定输入下，如何验证“把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值”，并让一个反例可重复地推翻错误实现？先写下预期像素、几何或估计量，再运行基线；只要PDF、样本、权重、批次均值和经验方差无法指出差异来自哪一步，图像看起来正确也不能通过。

本页的不变量是：Monte Carlo Methods的输入、公式中间量、输出与恢复结果可用同一基线复算。反例“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”只改变一个条件，因而正常、故障与恢复三次运行应能用同一输入直接比较。

原版、版次与事实来源

Monte Carlo Methods以作者官网和第二版104页浏览稿核对书名、作者、2006版次、目录、部分图文与公式，并以出版社书目交叉确认。浏览稿不是完整正文；课程用渲染方程原始论文与Veach论文核对技术事实后独立重写。

六个检查词

、、、、、。这些词共同约束把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值，每个词都必须落到公式、交互状态或可重放输出，不能只出现在术语表。

原书单元与独立机制解释

Monte Carlo Methods

monte carlo integration 用样本均值估计积分，sampling random variables 把均匀随机数变换到目标分布，variance reduction 通过重要性采样、分层或控制变量降低噪声而不篡改期望。

本单元的正式坐标是monte carlo integration、sampling random variables、variance reduction。验证Monte Carlo Methods时，先制造“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”，再检查PDF、样本、权重、批次均值和经验方差能否把错误定位到把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值的首个分叉。

\hat I_N=\frac1N\sum_{i=1}^{N}\frac{f(X_i)}{p(X_i)},\quad X_i\sim p

先预测，再操作三个章专属实验

分步1 / 3

1. 概念与因果路径

在Monte Carlo Methods中选择任一正式坐标，沿机制链查看它的输入、状态变化和可推翻探针。

路径空间与光传输事件

Monte Carlo Methods

把把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值展开为传感器、散射、反弹与光源四类事件。

正式概念

Monte Carlo Methods / monte carlo integration

传感器

选择像素与初始方向，定义最终测量。

探针：PDF、样本、权重、批次均值和经验方差

来源边界：Philip Dutré、Kavita Bala、Philippe Bekaert《Advanced Global Illumination》第二版。浏览稿与一手论文用于核对公式，课程交互不冒充原书图表。

最小可重现实验

double sum = 0;
for (int i = 0; i < sampleCount; ++i) {
  Sample x = distribution.sample(rng);
  sum += integrand(x.value) / x.pdf;
}
return sum / sampleCount;

运行Monte Carlo Methods时固定随机种子、输入几何、坐标约定和数值精度；记录编译命令或算法版本、输出摘要与失败条件。实验输出若依赖隐藏全局状态，必须先消除该依赖再比较。

练习与答案

练习

问题 1：公式与边界。 怎样用一个数值样本证明 $\hat I_N=\frac1N\sum_{i=1}^{N}\frac{f(X_i)}{p(X_i)},\quad X_i\sim p$ 中的量没有混用空间、单位或概率密度？

问题 2：正式坐标。 monte carlo integration、sampling random variables、variance reduction如何进入可操作验证？

monte carlo integration：在专属实验中选中该节点，保存输入与PDF、样本、权重、批次均值和经验方差，注入“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”后恢复并重放。
sampling random variables：在专属实验中选中该节点，保存输入与PDF、样本、权重、批次均值和经验方差，注入“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”后恢复并重放。
variance reduction：在专属实验中选中该节点，保存输入与PDF、样本、权重、批次均值和经验方差，注入“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”后恢复并重放。

问题 3：故障恢复。 如何证明“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”已经真正修复？

本章回顾

掌握Monte Carlo Methods意味着能将“把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值”写成明确公式或算法，能操作正式坐标，能制造“采样分布与权重不一致，或只比较单张随机结果判断方差”，还能凭PDF、样本、权重、批次均值和经验方差恢复同输入结果，而不是把一段Vulkan生命周期模板换上本章标题。

名词解释

本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。

monte carlo integration: monte carlo integration在Monte Carlo Methods中用于把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值；应由PDF、样本、权重、批次均值和经验方差确认，而不是只凭术语出现。
sampling random variables: sampling random variables在Monte Carlo Methods中用于把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值；应由PDF、样本、权重、批次均值和经验方差确认，而不是只凭术语出现。
variance reduction: variance reduction在Monte Carlo Methods中用于把高维积分转换为可估计、可分析方差的随机样本均值；应由PDF、样本、权重、批次均值和经验方差确认，而不是只凭术语出现。
radiance: radiance：辐亮度沿无吸收直线保持，是光传输方程的基本方向量。
path throughput: path throughput：路径吞吐量累计每次散射、余弦、PDF与终止补偿。
pdf: pdf：概率密度必须与采样测度一致，才能正确形成蒙特卡洛权重。

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