第7章 图

第7章 图覆盖31个正式目录坐标，用表示合同、真实操作计数与轨迹门交付顶点边表、表示对照、访问队列、松弛记录、前驱树与负权反例

学习目标

  • 把图ADT、五类存储、DFS、BFS、MST、最短路、拓扑排序与关键路径落实为ADT、物理表示、前后置条件与可复查状态
  • 只注入“向Dijkstra输入负权边，或把有向边当成邻接矩阵中的对称记录”，定位第7章 图操作轨迹的首个错误状态
  • 交付顶点边表、表示对照、访问队列、松弛记录、前驱树与负权反例，分开出版社目录、第2章样章、当前参考与本站扩展

为什么从这个问题开始

第7章 图围绕“图表示、遍历、生成树、最短路与DAG调度怎样各自声明边与权重前提？”建立贯穿任务：在固定非负权图上逐顶点重放Dijkstra确定与松弛轨迹。第7章 图先冻结ADT、表示和输入，再执行操作并保存真实计数，最后用单故障和同输入恢复验收；只有守住“抽象边集与表示一致；已确定最短距离有非负权前提；遍历不重不漏可达顶点”并交付顶点边表、表示对照、访问队列、松弛记录、前驱树与负权反例，一张图或一个复杂度标签才可能升级为可复核证据。

原版、授权样章与当前参考边界

第7章 图以清华大学出版社详情页核对程杰、《大话数据结构[溢彩加强版]》、ISBN 9787302564713、2020年12月1日出版、C语言定位和全彩图表、动效课件定位。出版社页面在2026年7月30日显示印次1—9、最近印刷日期2026年3月24日；第7章 图把这当作当前书志状态，不把未来变化写死为原版内容。

第7章 图以出版社完整目录核对第1章至第9章、282个编号小节；加上9个章根，正式分母是291个坐标。旧清单只有73个聚合概念，既漏掉开场白、总结、结尾，也漏掉大量二级和三级小节；第7章 图现用完整坐标追踪，但不会复制目录页附带的生活类比摘句。

第7章 图可访问出版社第2章样章，因此总体来源级别记为authorized-sample。第7章 图只用样章局部核对算法定义、特性、设计要求、度量和复杂度；其余8章正文、全彩图、逐行代码与课件内容仍不视为已授权复制。第7章 图的中文讲解、算法轨迹、反例和交互均为本站独立重构，不是原书翻译或替代品。

第7章 图以NIST DADS、Open Data Structures和Princeton Algorithms核对当前术语、实现不变量与经典算法。第7章 图所有交互在浏览器内使用小规模确定性数据，不执行用户代码、不上传数据；操作计数来自实际循环和状态迁移，大O、动画终点或勾选数量都不会被包装成综合效率分。

本页独立事实来源

291正式坐标逐项深读

第7章 图

坐标 1/31：第7章 图；稳定证据键 DSVC-07-A。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-A 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.1 开场白

坐标 2/31：7·1 开场白；稳定证据键 DSVC-07-B。 第7章 图把“7·1 开场白”当作原版叙事坐标，不虚构其中故事；本站只交付本章预测、证据回顾或边界清单。 第7章 图在 DSVC-07-B 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.2 图的定义

坐标 3/31：7·2 图的定义；稳定证据键 DSVC-07-C。 第7章 图为这个坐标写对象域、操作签名、前置条件和后置条件，定义不依赖某个C结构体的偶然布局。 第7章 图在 DSVC-07-C 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.2.1 各种图的定义

坐标 4/31：7·2·1 各种图的定义；稳定证据键 DSVC-07-D。 第7章 图为这个坐标写对象域、操作签名、前置条件和后置条件，定义不依赖某个C结构体的偶然布局。 第7章 图在 DSVC-07-D 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.2.2 图的顶点与边间的关系

坐标 5/31：7·2·2 图的顶点与边间的关系；稳定证据键 DSVC-07-E。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-E 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.2.3 连通图的相关术语

坐标 6/31：7·2·3 连通图的相关术语；稳定证据键 DSVC-07-F。 第7章 图为这个坐标写对象域、操作签名、前置条件和后置条件，定义不依赖某个C结构体的偶然布局。 第7章 图在 DSVC-07-F 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.2.4 图的定义与术语总结

坐标 7/31：7·2·4 图的定义与术语总结；稳定证据键 DSVC-07-G。 第7章 图为这个坐标写对象域、操作签名、前置条件和后置条件，定义不依赖某个C结构体的偶然布局。 第7章 图在 DSVC-07-G 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.3 图的抽象数据类型

坐标 8/31：7·3 图的抽象数据类型；稳定证据键 DSVC-07-H。 第7章 图为这个坐标写对象域、操作签名、前置条件和后置条件，定义不依赖某个C结构体的偶然布局。 第7章 图在 DSVC-07-H 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.4 图的存储结构

坐标 9/31：7·4 图的存储结构；稳定证据键 DSVC-07-I。 第7章 图把逻辑元素映射到槽位或结点身份，逐项核对长度、可达性、边界与失败原子性。 第7章 图在 DSVC-07-I 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.4.1 邻接矩阵

坐标 10/31：7·4·1 邻接矩阵；稳定证据键 DSVC-07-J。 第7章 图把“7·4·1 邻接矩阵”落实为输入、表示、操作、输出、不变量和反例；序号10只用于证据追踪，不代表难度或效率。 第7章 图在 DSVC-07-J 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.4.2 邻接表

坐标 11/31：7·4·2 邻接表；稳定证据键 DSVC-07-K。 第7章 图把“7·4·2 邻接表”落实为输入、表示、操作、输出、不变量和反例；序号11只用于证据追踪，不代表难度或效率。 第7章 图在 DSVC-07-K 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.4.3 十字链表

坐标 12/31：7·4·3 十字链表；稳定证据键 DSVC-07-L。 第7章 图把逻辑元素映射到槽位或结点身份，逐项核对长度、可达性、边界与失败原子性。 第7章 图在 DSVC-07-L 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.4.4 邻接多重表

坐标 13/31：7·4·4 邻接多重表；稳定证据键 DSVC-07-M。 第7章 图把“7·4·4 邻接多重表”落实为输入、表示、操作、输出、不变量和反例；序号13只用于证据追踪，不代表难度或效率。 第7章 图在 DSVC-07-M 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.4.5 边集数组

坐标 14/31：7·4·5 边集数组；稳定证据键 DSVC-07-N。 第7章 图把逻辑元素映射到槽位或结点身份，逐项核对长度、可达性、边界与失败原子性。 第7章 图在 DSVC-07-N 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.5 图的遍历

坐标 15/31：7·5 图的遍历；稳定证据键 DSVC-07-O。 第7章 图以连通无环、父结点唯一和一次访问作为树操作不变量，并保存递归或显式栈轨迹。 第7章 图在 DSVC-07-O 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.5.1 深度优先遍历

坐标 16/31：7·5·1 深度优先遍历；稳定证据键 DSVC-07-P。 第7章 图以连通无环、父结点唯一和一次访问作为树操作不变量，并保存递归或显式栈轨迹。 第7章 图在 DSVC-07-P 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.5.2 广度优先遍历

坐标 17/31：7·5·2 广度优先遍历；稳定证据键 DSVC-07-Q。 第7章 图以连通无环、父结点唯一和一次访问作为树操作不变量，并保存递归或显式栈轨迹。 第7章 图在 DSVC-07-Q 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.6 最小生成树

坐标 18/31：7·6 最小生成树；稳定证据键 DSVC-07-R。 第7章 图以连通无环、父结点唯一和一次访问作为树操作不变量，并保存递归或显式栈轨迹。 第7章 图在 DSVC-07-R 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.6.1 普里姆（Prim）算法

坐标 19/31：7·6·1 普里姆（Prim）算法；稳定证据键 DSVC-07-S。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-S 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.6.2 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

坐标 20/31：7·6·2 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法；稳定证据键 DSVC-07-T。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-T 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.7 最短路径

坐标 21/31：7·7 最短路径；稳定证据键 DSVC-07-U。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-U 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.7.1 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

坐标 22/31：7·7·1 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法；稳定证据键 DSVC-07-V。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-V 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.7.2 弗洛伊德（Floyd）算法

坐标 23/31：7·7·2 弗洛伊德（Floyd）算法；稳定证据键 DSVC-07-W。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-W 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.8 拓扑排序

坐标 24/31：7·8 拓扑排序；稳定证据键 DSVC-07-X。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-X 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.8.1 拓扑排序介绍

坐标 25/31：7·8·1 拓扑排序介绍；稳定证据键 DSVC-07-Y。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-Y 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.8.2 拓扑排序算法

坐标 26/31：7·8·2 拓扑排序算法；稳定证据键 DSVC-07-Z。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-Z 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.9 关键路径

坐标 27/31：7·9 关键路径；稳定证据键 DSVC-07-AA。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-AA 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.9.1 关键路径算法的原理

坐标 28/31：7·9·1 关键路径算法的原理；稳定证据键 DSVC-07-AB。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-AB 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.9.2 关键路径算法

坐标 29/31：7·9·2 关键路径算法；稳定证据键 DSVC-07-AC。 第7章 图声明方向、权重、重边和负权前提，逐顶点保存访问、松弛、前驱与失败反例。 第7章 图在 DSVC-07-AC 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.10 总结回顾

坐标 30/31：7·10 总结回顾；稳定证据键 DSVC-07-AD。 第7章 图把“7·10 总结回顾”当作原版叙事坐标，不虚构其中故事；本站只交付本章预测、证据回顾或边界清单。 第7章 图在 DSVC-07-AD 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

7.11 结尾语

坐标 31/31：7·11 结尾语；稳定证据键 DSVC-07-AE。 第7章 图把“7·11 结尾语”当作原版叙事坐标，不虚构其中故事；本站只交付本章预测、证据回顾或边界清单。 第7章 图在 DSVC-07-AE 下保存输入、表示、操作序列、真实计数、输出、不变量、单故障首错和同输入恢复；目录标题只限定原版范围，不能单独证明算法正确、复杂度或本站教学扩展。

三个可操作结构与算法实验

第7章 图先预测：若只注入“向Dijkstra输入负权边，或把有向边当成邻接矩阵中的对称记录”，抽象合同、物理表示、前置条件、状态、不变量、输出或操作计数中的哪一项最先变化？第7章 图随后选择正式坐标与表示，调整小输入获得真实轨迹，再沿基线、故障和恢复逐项关闭发布门。

分步1 / 3

表示合同：连接ADT、物理存储与不变量

抽象对象—物理表示—不变量

第7章 图

先选正式坐标和来源轨，再比较同一抽象对象的存储关系与必须保持的性质。

坐标 1/31

第7章 图

出版社完整目录限定2020溢彩加强版的291个正式坐标；目录中的叙事句不等于算法证明。

存储合同
元素按下标映射到连续槽位；容量与逻辑长度分开记录。
关系映射
第 i 个逻辑元素由槽位 i 表示，随机访问依赖有效下标。
表示不变量
0 ≤ length ≤ capacity；有效区间之外不属于线性表。 本页另要求：抽象边集与表示一致；已确定最短距离有非负权前提；遍历不重不漏可达顶点

第7章 图的操作计数器真正执行顺序与折半查找、数组与链表插入模型、循环队列、KMP、树遍历、Dijkstra或排序循环。第7章 图的固定小图和小数组用于复算机制，不代表生产负载；缓存、分配器、语言实现、输入分布和硬件效应需要另做基准测试。

最小可重现实验协议

  1. 第7章 图先冻结元素身份、输入规模、逻辑关系、物理表示、容量、索引约定、比较器、图方向与权重以及成功条件。
  2. 第7章 图用小输入建立参考轨迹并保存顶点边表、表示对照、访问队列、松弛记录、前驱树与负权反例；输出、多重集、可达性或计数不稳定就停止，不用复杂度表解释实现。
  3. 第7章 图保持其余条件不变，只注入“向Dijkstra输入负权边，或把有向边当成邻接矩阵中的对称记录”，记录首个越界、错误边、错误候选区、错误输出或不变量破坏。
  4. 第7章 图撤销唯一故障，从干净结构以同一输入重放；结构、输出、操作计数和“抽象边集与表示一致；已确定最短距离有非负权前提；遍历不重不漏可达顶点”没有一起恢复时，结论标记失败或未知。

小结与上架门

第7章 图把图ADT、五类存储、DFS、BFS、MST、最短路、拓扑排序与关键路径连接成可复核状态链：完整目录给正式坐标，第2章样章限定局部正文，当前参考核对新陈述，ADT合同解释对象，物理表示承载状态，真实操作计数暴露成本，单故障定位首错，同输入恢复决定结论能否上架。第7章 图最终交付顶点边表、表示对照、访问队列、松弛记录、前驱树与负权反例，并同时报告授权、前提、成本模型、输入分布与未知项。

练习与答案

练习

问题 1：7.1 开场白

为第7章 图的证据键 DSVC-07-B 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 2：7.2 图的定义

为第7章 图的证据键 DSVC-07-C 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 3：7.3 图的抽象数据类型

为第7章 图的证据键 DSVC-07-H 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 4：7.4 图的存储结构

为第7章 图的证据键 DSVC-07-I 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 5：7.5 图的遍历

为第7章 图的证据键 DSVC-07-O 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 6：7.6 最小生成树

为第7章 图的证据键 DSVC-07-R 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 7：7.7 最短路径

为第7章 图的证据键 DSVC-07-U 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 8：7.8 拓扑排序

为第7章 图的证据键 DSVC-07-X 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 9：7.9 关键路径

为第7章 图的证据键 DSVC-07-AA 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 10：7.10 总结回顾

为第7章 图的证据键 DSVC-07-AD 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 11：7.11 结尾语

为第7章 图的证据键 DSVC-07-AE 设计一个最小输入、参考操作轨迹、真实计数、单前提故障和恢复断言，并说明结构不变量。

问题 12：为什么291个坐标不等于291段原书正文

第7章 图应怎样描述出版社完整目录、第2章样章和本站交互之间的授权与证据关系？

问题 13：什么时候不能发布“更快”或“正确”

第7章 图缺少哪些证据时只能报告局部观察？

六个裁决术语

第7章 图使用、、、、、构成最小证据语言；第7章 图用它们指向真实对象、状态和轨迹，不生成成熟度分、难度分或综合效率分。

名词解释

本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。

抽象数据类型

第7章 图中由值集合与操作语义定义且不绑定单一物理布局的合同。

表示不变量

第7章 图中每次合法操作前后都必须成立的槽位、可达边、树序或图边性质。

前置条件

第7章 图中某操作被允许执行之前输入与状态必须满足的约束。

操作计数

第7章 图从真实轨迹统计的比较、读取、写入、搬移、改链或松弛次数。

首个错误状态

第7章 图的故障轨迹相对参考轨迹最早出现越界、不变量破坏或错误输出的位置。

同输入恢复

第7章 图撤销唯一故障并用原输入恢复结构、输出、不变量与计数的断言。

复习本章（2 题）

讨论

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