第 3 章 Geometry and Transformations
第 3 章 Geometry and Transformations：区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同，依据PBRT 4e完整正文独立重写。
学习目标
- 能说明“第 3 章 Geometry and Transformations”如何区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同
- 能逐项核对coordinate system、vector、normal、ray、bounding box、transformation在对象、测度、空间或执行阶段中的归属
- 能用章专属路径图与估计量实验制造“把法线当向量直接变换，或让包围盒舍入误差漏掉真实交点”并找到source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds中的首个分叉
- 能修改最小实现、固定随机种子，并验证“第 3 章 Geometry and Transformations的固定输入、路径状态、估计量输出和恢复结果可由同一证据包重放”
从一个像素样本开始
“第 3 章 Geometry and Transformations”先固定scene hash、pixel、sample index和随机种子，再预测一条路径或一个估计量的中间状态。若source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds不能解释首个差异，即使最终图像看起来合理也不能通过。
本页不变量是：第 3 章 Geometry and Transformations的固定输入、路径状态、估计量输出和恢复结果可由同一证据包重放。正常、故障、恢复三次运行共享场景、版本、采样序列与质量目标，只允许改变一个机制条件。
来源、版本与重写边界
本页依据开放在线的 PBRT 4e 官方完整正文独立重写，并用官方总目录核对章节与小节边界。正文不复刻原书段落；公式、接口名和机制结论以第4版正文与pbrt-v4官方源代码交叉检查。
第4版正式结构是16个编号章与A–C三个附录。本课程保持16个页面；最终综合页显式映射第16章和三个实现附录，不再把旧版章节顺序、Vulkan API或虚构“Rendering System”当作第4版目录。
六个检查词
在“第 3 章 Geometry and Transformations”的术语核对中，↡coordinate system在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。、↡vector在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。、↡normal在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。、↡ray在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。、↡bounding box在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。、↡transformation在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。。术语必须进入公式、路径状态、代码和可重放输出，不能只在目录里出现。
原版单元、机制与边界
3 Geometry and Transformations
在“第 3 章 Geometry and Transformations”的本单元核对中，点受平移影响而向量不受，法线必须用逆转置矩阵以维持与切向量正交；Ray还携带时间和介质信息。包围盒求交既要处理零方向分量，也要把浮点舍入误差纳入保守边界。
本单元的可推翻反例是“把法线当向量直接变换，或让包围盒舍入误差漏掉真实交点”。若发生分叉，按source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds定位，而不是把差异归因于“渲染有随机性”。
官方小节覆盖
- Coordinate Systems：在“第 3 章 Geometry and Transformations”中以区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同的对象、测度或执行合同核对。
- Vectors, Points, and Normals：在“第 3 章 Geometry and Transformations”中以区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同的对象、测度或执行合同核对。
- Rays and Bounding Boxes：在“第 3 章 Geometry and Transformations”中以区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同的对象、测度或执行合同核对。
- Spherical Geometry：在“第 3 章 Geometry and Transformations”中以区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同的对象、测度或执行合同核对。
- Transformations and Interactions：在“第 3 章 Geometry and Transformations”中以区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同的对象、测度或执行合同核对。
先预测，再操作三个章专属实验
1. 路径空间与对象归属
调整路径顶点与下一事件估计，观察本章对象如何改变throughput和贡献。
Path-space inspection
第 3 章 Geometry and Transformations
区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同
0.4620.620观察对象：coordinate system、vector、normal、ray、bounding box
最小可重现实验
Point3f p = ray(tHit);
Normal3f n = Normalize(Transpose(Inverse(m)) * nObject);
CHECK_LT(AbsDot(n, dpdu), epsilon);运行“第 3 章 Geometry and Transformations”时保存PBRT版本、场景hash、像素/样本、波长样本、关键对象状态和输出摘要。截图只能证明最终外观，不能替代路径顶点、PDF、throughput、错误界或队列身份。
练习与答案
练习
问题 1：公式边界。 在“第 3 章 Geometry and Transformations”中，如何用固定小样本验证 ，并标明每个量的对象、测度、空间和时间点？
问题 2：正式坐标。 coordinate system、vector、normal、ray、bounding box、transformation怎样进入可操作验证？
问题 3：恢复证据。 怎样证明“把法线当向量直接变换，或让包围盒舍入误差漏掉真实交点”已真正修复？
本章回顾
掌握“第 3 章 Geometry and Transformations”意味着能把“区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同”落到真实PBRT对象、数学测度和执行阶段，能主动制造“把法线当向量直接变换，或让包围盒舍入误差漏掉真实交点”，并凭source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds恢复同输入结果。
名词解释
本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。
- coordinate system
coordinate system在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。
- vector
vector在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。
- normal
normal在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。
- ray
ray在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。
- bounding box
bounding box在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。
- transformation
transformation在“第 3 章 Geometry and Transformations”的“3 Geometry and Transformations”中用于区分点、向量、法线、射线、包围盒及其坐标变换合同；由source space、target space、matrix、ray interval、normal dot tangent与bounds核对。
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