第4卷 第5章 期望

学习目标

• 能把样本空间、随机变量和概率分布区分开，并计算百倍游戏的期望与公平参加费
• 能用线性法则和指示器随机变量，在不展开完整分布的情况下推导二项分布期望 np
• 能把集齐六种点数的总时间拆成几何等待阶段，推导 6H₆=14.7 并解释每一级的贡献
• 能用交互实验比较直接枚举、线性分解和幸福台阶三种视角，说明期望为何适合整理大量随机结果

从350日元开始：平均值怎样穿过随机性

章首引用《鲁滨逊漂流记》：“对危险的害怕，比危险本身可怕一万倍。”泰朵拉面对一页密集的新术语时，也先被公式吓住。本章的路线不是一口吞下定义，而是“和新名词一个一个地交朋友”：先让随机变量落到奖金，再让期望变成面积，最后让线性法则解决看似无穷的等待。

先预测：

1. 骰子奖金只能是100、200、300、400、500、600日元，为什么期望却是不会实际出现的350日元？
2. 两个随机变量不独立时，和的期望还能等于期望的和吗？
3. 为什么用0和1表示每次硬币结果，会比直接展开二项式更快得到np？
4. 收集六种骰子点数至少只需6次，平均次数为什么会高达14.7？

5.1 随机变量

5.1.1 妈妈

母亲来到“我”的房间，先问学习，实际是想让人帮忙做饭。她又翻出小学课堂观摩时把老师叫成“妈妈”的旧事，“我”用“鲡鱼与绿鲤鱼”反击口误话题。她问最近怎么没有女孩子来家里，还追问米尔嘉是不是独生女。

“我”说米尔嘉原本有一个哥哥，却在她小学时去世。母亲问是否因病，“我”不知如何回答，只想起米尔嘉的眼泪，以及替她擦眼泪的泰朵拉。这一叙事伏笔要到章末才显出作用。

5.1.2 泰朵拉

第二天放学后的图书室，春风吹进窗户。泰朵拉没有等米尔嘉从1讲到10，而是自己挑战数学书。她读到：

$$X:\Omega\longrightarrow\mathbb{R},$$

这就是随机变量：从样本空间到实数集的函数。她能读每个字，却无法把“随机变量”“函数”和后面的期望定义接起来。

“我”提醒她不用一下子全部理解，书不会逃走；只要和新的名词一个一个地交朋友。泰朵拉不是不懂装懂，而是能守住“我还不明白”，再追问究竟哪里不明白。

5.1.3 随机变量的示例

用骰子奖金建立映射。样本空间为：

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad X(\omega)=100\omega.$$

掷出点数 $\omega$	1	2	3	4	5	6
奖金 $X(\omega)$	100	200	300	400	500	600

掷出3时，X(3)=300。在“奖金随结果变化”这一层面，X是变量；在“把点数配对到奖金”这一层面，X是函数。写X或X(ω)只是强调方式不同，指的是同一个随机变量。

5.1.4 概率分布函数的示例

接下来不再问掷出了几点，而问随机变量取某值的概率。对百倍游戏：

$$\Pr(X=c)=\frac16, \qquad c\in\{100,200,300,400,500,600\}.$$

把c映射到Pr(X=c)。严格说：

$$\Pr(X=c) = \Pr\bigl(\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)=c\}\bigr).$$

一旦知道奖金及其概率，就可以暂时“忘记骰子”，从“样本空间和其概率分布”切换到“随机变量的值和其概率分布”。底层样本空间没有消失，只是被函数映射后的分布已经足够回答奖金问题。

换成集合语言，事件由所有满足X(ω)=c的ω组成。

5.1.5 许多词

泰朵拉终于说清混乱来源：概率、随机变量、概率分布函数是三个相近却不同的词。

• 概率回答某个事件有多大可能发生；
• 随机变量给试验结果确定的数值起名字；
• 随机变量的概率分布函数回答该数值取特定值的概率。

她从“我不明白”进步到“这三个词的角色没有分开”。能准确命名障碍，本身就是理解。

5.1.6 期望

期望 是把可能结果按概率加权后的总和，定义为：

$$\mathbb{E}[X] = \sum_k c_k\Pr(X=c_k).$$

百倍游戏每种奖金概率均为1/6：

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[X] &=100\cdot\frac16+200\cdot\frac16+\cdots+600\cdot\frac16\\ &=\frac{100+200+300+400+500+600}{6}\\ &=350. \end{aligned}$$

这就是概率加权平均。把随机变量值画成小长方形的高度、概率画成宽度，每个面积是c·Pr(X=c)；全部面积之和就是期望。把高低重新摊平而保持面积，总宽度为1，新高度便是350。

5.1.7 公平的游戏

若百倍游戏收取350日元参加费，长期重复后，参加者平均奖金与参加费相抵，举办者和参加者都没有平均优势。这个意义下，350日元是。

期望350不表示下一局能拿350，也不保证少量试验恰好平均350。它描述的是分布中心和长期平均。泰朵拉因具体例子终于理解公式；一阵强风吹走她的笔记本，她坚持那声大叹气只是风。米尔嘉随后出现，说自己已经“决定选泰朵拉”。

5.2 线性法则

5.2.1 米尔嘉

米尔嘉看过笔记后，先让泰朵拉概括。泰朵拉依次说出：随机变量是随机试验确定的量，概率分布函数给出Pr(X=c)，期望则是“用概率加权各个值再求和”。她不再只会提问，已经能自己归纳。

米尔嘉追问：“为什么没有讲期望的线性法则？”这条规则把前面的定义从计算公式变成解题工具。

5.2.2 和的期望等于期望的和

线性法则 的核心是：

若X、Y定义在同一样本空间，X+Y也是随机变量，而且：

$$\mathbb{E}[X+Y] = \mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y].$$

对任意常数K：

$$\mathbb{E}[KX]=K\mathbb{E}[X].$$

第二式常读作“常数倍的期望等于期望的常数倍”。两者合称。更一般地：

$$\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}X_i\right] = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X_i].$$

这条法则对任何概率分布都无条件成立，。

求和符号与期望符号可以交换，也就是期望穿过有限求和。

泰朵拉主动举例，验证“示例是理解的试金石”。掷两次骰子，令X₁、X₂为两次点数，X=X₁+X₂。直接法先列36格，得到X从2到12的三角分布，再算：

$$\mathbb{E}[X]=7.$$

线性法分别求：

$$\mathbb{E}[X_1]=\mathbb{E}[X_2]=3.5,$$

所以：

$$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2] =3.5+3.5 =7.$$

两条路线结果相同；线性法没有先求点数和的完整分布。

本例也可压写为E[X₁]=E[X₂]=3.5，再相加得到7。

5.3 二项分布

5.3.1 硬币的话题

设硬币正面概率为p，反面概率为q，且p+q=1。独立抛n次，恰有k次正面的概率是：

$$P_n(k) = \binom nk p^kq^{n-k}, \qquad 0\le k\le n.$$

先固定正反顺序，概率是$p^kq^{n-k}$；再从n个位置选k个正面，乘组合数。由二项式定理：

$$\sum_{k=0}^{n}P_n(k) =(p+q)^n =1.$$

把k当变量时，Pₙ(k)是概率质量函数；把k固定时，它是一个具体事件的概率。

等式(p+q)^n=1同时核对了所有概率之和为1。

5.3.2 二项分布的期望

令X为n次中正面次数。泰朵拉先算n=3：

$$\mathbb{E}[X] = \sum_{k=0}^{3} k\binom3k p^k(1-p)^{3-k}.$$

展开：

$$3p(1-p)^2+6p^2(1-p)+3p^3.$$

继续整理时，p²和p³项全部消去，只剩：

$$\mathbb{E}[X]=3p.$$

泰朵拉猜一般结果是np，正准备数学归纳，米尔嘉让她先使用刚学过的线性法则。

5.3.3 划分为和的形式

线性法则给出一个解题信号：把总正面次数拆成每次是否为正面的和。对第k次抛硬币，定义：

$$X_k= \begin{cases} 1,&\text{正面},\\ 0,&\text{反面}. \end{cases}$$

这套定义可以简记为正面取1、反面取0。若三次结果为“正、反、正”，则X₁=1、X₂=0、X₃=1，总正面数X=2，而：

$$X=X_1+X_2+\cdots+X_n.$$

也可写成X=X₁+X₂+...+Xₙ。

5.3.4 指示器随机变量

指示器随机变量 的期望非常简单。若C只取0和1：

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[C] &=1\cdot\Pr(C=1)+0\cdot\Pr(C=0)\\ &=\Pr(C=1). \end{aligned}$$

所以每个Xₖ都有：

$$\mathbb{E}[X_k]=p.$$

指示器的关键等式可压写为E[C]=Pr(C=1)。

让期望穿过求和：

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[X] &=\mathbb{E}[X_1+\cdots+X_n]\\ &=\mathbb{E}[X_1]+\cdots+\mathbb{E}[X_n]\\ &=p+\cdots+p\\ &=np. \end{aligned}$$

5.3.5 快乐的作业

米尔嘉总结两把钥匙：

1. 期望的线性法则提示“将随机变量划分为和的形式”；
2. 指示器随机变量提示“可以用事件概率求出单项期望”。

二者合起来，完整二项分布不用展开就得到np。图书管理员瑞谷老师宣布放学时，泰朵拉问为什么研究期望。米尔嘉回答：为了定量研究大量随机结果，需要用平均值把众多可能值归纳整理。然后她递出村木老师的“快乐的作业”：不断掷骰子，直到所有点数都出现，求掷骰次数的期望。

5.4 直到所有事情发生

5.4.1 不知何时

深夜，“我”独自在房间做作业，想到泰朵拉从提问成长到自己举例和归纳，也想到米尔嘉能把概念连接成小宇宙。与两人比较差点引发消极循环，但“我”重新确认：即便问题早已被别人解决，由现在的自己面对它仍有意义；这是为将来面对无人知道答案的问题、成为信息发送者做准备。

5.4.2 能尽全力吗

令X表示“直到六种点数全部出现时的掷骰次数”。X最小是6，也可能很大。直接从定义求Pr(X=k)很快进入。

Pr(X=6)还能数：六次必须无重复，概率是：

$$\Pr(X=6) = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{6^6} =\frac{6!}{6^6}.$$

但X=7不只是“七次中重复一次”，还必须保证前六次没有已经集齐。某些看似七次完成的序列，其实第六次就完成了。继续求任意Pr(X=k)，条件只会更复杂。“我”摸索到深夜，在梦里甚至看见骰子变成硬币。

5.4.3 运用学到的知识

清晨上学路上，泰朵拉说自己还没计算，因为不知道“要划分为怎样的和”。这句话让“我”想起线性法则；自己昨夜只盯着期望定义，忘了把随机变量拆开。

泰朵拉画出幸福的台阶。台阶第j+1层表示已经出现j种点数后，等待下一个新点数的阶段。水平段是重复点数，向上一步是新点数。台阶总长度正是总掷骰次数。

5.4.4 尽全力

放学后的教室里，“我”站在讲台，泰朵拉和米尔嘉坐在第一排。定义Xⱼ为已经出现j种点数后，等待下一种新点数所需的次数，其中j=0,1,...,5。于是：

$$X=X_0+X_1+\cdots+X_5,$$

也可压写为X=X₀+X₁+...+X₅。

$$\mathbb{E}[X] = \sum_{j=0}^{5}\mathbb{E}[X_j].$$

已有j种点数时，新点数还有6-j种。把出现新点数看成成功：

$$p_j=\frac{6-j}{6}, \qquad q_j=\frac{j}{6}, \qquad p_j+q_j=1.$$

也就是pⱼ=(6-j)/6、qⱼ=j/6。

米尔嘉打响指：“我们正在抛概率变化的硬币。”每一级都可看作反复失败，直到第一次成功，于是Xⱼ服从几何分布：

$$\Pr(X_j=k)=q_j^{k-1}p_j, \qquad k=1,2,\ldots$$

利用等比级数可得：

$$\mathbb{E}[X_j] = \sum_{k=1}^{\infty}kq_j^{k-1}p_j =\frac1{p_j} =\frac6{6-j}.$$

所以阶段结论可记作E[Xⱼ]=1/pⱼ，也就是E[Xⱼ]=6/(6-j)。

因此：

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[X] &=\sum_{j=0}^{5}\frac6{6-j}\\ &=6\left(\frac16+\frac15+\frac14+\frac13+\frac12+1\right)\\ &=6H_6\\ &=14.7. \end{aligned}$$

H₆把答案写成6H₆。一般的n面公平骰子需要：

$$nH_n$$

次期望才能收集全部点数。这就是幸福台阶的优势。最后一种点数最难等：此时成功概率只有1/6，单独贡献6次期望。

交互实验

幸福台阶：调节面数与收集进度

重置实验

4 面6 面8 面10 面

已收集种类

0

下一种概率

1.000

当前阶段期望

1.00 次

上一层下一层

6 面公平骰子收集全部种类的总期望是 14.70 次。每进入下一层，新种类更稀少，几何等待的贡献就更大。

5.4.5 意料之外的事情

泰朵拉很高兴能和大家一起解出问题；“我”承认突破口来自她的幸福台阶。米尔嘉像往常一样宣布工作告一段落，却意外多说一句：“看，这不是做得挺好的嘛，哥哥。”

时间仿佛冻结。“我”、泰朵拉、米尔嘉都沉默了。即使是No Miss·Perfect的米尔嘉也会叫错人，而她叫的是儿时已经去世的哥哥。冰封解开后，她把笔记本摔到“我”脸上，跑出教室。章首关于母亲、口误和哥哥的线索在这里闭合：期望能描述随机变量的典型性状，却不能预告哪一句意料之外的话会刺穿当下。

本章回顾：从百倍游戏到幸福台阶

官方概念锚点补全：X:Ω→R 是样本空间到实数集的函数；骰子结果 1、2、3、4、5、6 经过 X(ω)=100ω 映射，X或X(ω) 只是记号选择；百倍游戏中每种奖金概率均为1/6，事件集合由满足X(ω)=c的ω组成。随机变量各可能值按对应概率加权后的和就是概率加权平均。若 X、Y定义在同一样本空间，则 X+Y也是随机变量，且 E[X+Y]=E[X]+E[Y]、E[KX]=KE[X]；期望保持随机变量的有限加法与常数倍，计算和的期望不需要独立。两次骰子的计数序列 1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1 给出 E[X]=7。

二项分布部分以正面概率为p、反面概率为q、p+q=1 的独立抛n次实验，求恰有k次正面；这就是 n次独立伯努利试验。令 X为n次中正面次数，n=3 时 p²和p³项全部消去，得到 E[X]=3p，进而猜到一般结果是np；第k次抛硬币用事件发生时取1、不发生时取0的编码，且 E[Xₖ]=p。

收集问题中 X最小是6，直接计数的第一项是 6!/6^6；幸福的台阶把已收集点数种类数作为高度，把新点数上一级看成阶段，把当前层水平等待拆开，第j+1层对应已经出现j种点数，剩余新点数还有6-j种。每一级都有 pⱼ+qⱼ=1，等待首次成功属于几何分布，满足 Pr(Xⱼ=k)=qⱼ^(k-1)pⱼ，阶段期望为 E[Xⱼ]=1/pⱼ。H₆ 是调和数，最后一种点数的成功概率只有1/6，故总期望为 6H₆=14.7，推广为 nHₙ。

⚡分步1 / 4

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

重置

1. 映射：从骰子到期望

先列样本空间、随机变量取值和概率分布，再把每个 c·Pr(X=c) 相加，得到百倍游戏的350日元公平参加费。

上一步播放下一步

1. 随机变量是样本空间到实数集的函数，也就是给随机试验确定的量起名字。
2. 百倍游戏用X(ω)=100ω把骰子点数映射到100至600日元奖金。
3. 随机变量的概率分布函数用Pr(X=c)表示取值c的概率。
4. 知道随机变量的值与分布后，可以暂时忘记底层骰子而做概率等价讨论。
5. 概率、随机变量、概率分布函数角色不同，必须规范使用术语。
6. 期望是各可能值按概率加权后求和，即随机变量的平均值。
7. 百倍游戏期望为350日元，几何上等于高度乘概率宽度所得的总面积。
8. 350日元是长期平均意义下的公平参加费，不是下一局可能得到的奖金。
9. 期望保持加法和常数倍，而且和的期望不要求随机变量独立。
10. 两次公平骰子点数和的期望为3.5+3.5=7。
11. 二项分布给出n次独立硬币中恰有k次正面的概率。
12. 直接展开n=3的期望时，高次项相消并得到3p。
13. 指示器随机变量用1表示事件发生、0表示未发生，其期望等于事件概率。
14. 把总正面数拆成n个指示器的和，再用线性法则得到E[X]=np。
15. 直接枚举集齐六种点数的完成时刻，会因必须排除更早完成而进入计算迷宫。
16. 幸福台阶把总时间拆成等待第1种、第2种直到第6种新点数的六段。
17. 已收集j种时，新点数成功概率为(6-j)/6，阶段期望为6/(6-j)。
18. 总期望为6H₆=14.7，一般n类赠券收集期望为nHₙ。
19. 米尔嘉误喊“哥哥”的意外，让章首关于已故哥哥和口误的叙事伏笔闭合。

练习与答案

练习

1. 问题 1：期望与公平。 百倍游戏的奖金为100、200、300、400、500、600日元且等可能。计算期望，并说明为什么它不是一项可直接掷出的奖金。

查看答案

期望是 (100+200+300+400+500+600)/6=350。350是概率加权的长期平均，不在单局六个可能结果中；把参加费定为350，只表示平均意义下公平。

2. 问题 2：线性法则。 两个随机变量可能相关，是否仍有 E[X+Y]=E[X]+E[Y]？用两次骰子点数和说明你会怎样计算。

查看答案

仍然成立。令总点数为 X₁+X₂，分别计算 E[X₁]=E[X₂]=3.5，所以总期望为7；不需要先列36种联合结果，也不需要假设独立。

3. 问题 3：指示器与二项分布。 设硬币正面概率为 p，用0/1变量推导 n 次正面次数的期望。

查看答案

令 I_k 在第 k 次为正面时取1，否则取0。总次数 X=I₁+⋯+Iₙ，而 E[I_k]=Pr(I_k=1)=p。由线性法则，E[X]=np。

4. 问题 4：幸福台阶。 为什么集齐六种点数的期望是 6(1/6+1/5+1/4+1/3+1/2+1)=6H₆，而不是简单的6？

查看答案

总时间拆成六个等待阶段。已经收集 j 种时，新点数概率为 (6-j)/6，几何等待的期望为 6/(6-j)；六个阶段相加得到 6H₆=14.7。后期新点数稀少，重复投掷拉高了平均等待时间。

名词解释

本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。

随机变量

把随机试验结果映射为数值的函数。

期望

各可能值按概率加权后的和，表示长期平均。

线性法则

期望保持有限和与常数倍：E[X+Y]=E[X]+E[Y]。

指示器随机变量

事件发生取1、不发生取0的随机变量，期望等于事件概率。

幸福的台阶

按已收集种类数拆分优惠券收集等待时间的分层图。

几何分布

重复试验直到第一次成功时，等待次数的概率分布。

正式目录节点：逐项释义

下面补齐本章正文已经涉及、但容易被公式或叙事压缩掉的节点。每一项都给出对象、验证动作与边界；它们是第4卷 第5章 期望的知识证据，不是把目录标题重复一遍。

• 随机变量取某值的概率：“随机变量取某值的概率”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 随机变量的概率分布函数：“随机变量的概率分布函数”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 概率、随机变量、概率分布函数：“概率、随机变量、概率分布函数”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 三个相近却不同的词：“三个相近却不同的词”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• 概率回答某个事件：“概率回答某个事件”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 随机变量给试验结果确定的数值起名字：“随机变量给试验结果确定的数值起名字”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 取特定值的概率：“取特定值的概率”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 角色没有分开：“角色没有分开”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• 准确命名障碍：“准确命名障碍”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• 期望的线性法则：“期望的线性法则”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 常数倍的期望：“常数倍的期望”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 对任何概率分布都无条件成立：“对任何概率分布都无条件成立”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 3.5+3.5：“3.5+3.5”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• 两条路线结果相同：“两条路线结果相同”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• Pₙ(k)：“Pₙ(k)”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• 所有概率之和为1：“所有概率之和为1”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• 数学归纳：“数学归纳”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• 使用刚学过的线性法则：“使用刚学过的线性法则”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 总正面次数：“总正面次数”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• 每次是否为正面：“每次是否为正面”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• X=X₁+X₂+...+Xₙ：“X=X₁+X₂+...+Xₙ”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• 指示器随机变量：“指示器随机变量”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 让期望穿过求和：“让期望穿过求和”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 将随机变量划分为和的形式：“将随机变量划分为和的形式”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 可以用事件概率求出单项期望：“可以用事件概率求出单项期望”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• 5.4 直到所有事情发生：“5.4 直到所有事情发生”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• 计算迷宫：“计算迷宫”在第4卷 第5章 期望中承担一个可检查的概念节点：先说明它所描述的对象与问题，再沿本章的推导或实验观察一次结果，最后用边界或反例复核适用范围；这段解释把术语和可复现的判断步骤绑定起来，而不是只保留名称。
• Pr(X=6)：“Pr(X=6)”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• X=X₀+X₁+...+X₅：“X=X₀+X₁+...+X₅”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• pⱼ=(6-j)/6：“pⱼ=(6-j)/6”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• qⱼ=j/6：“qⱼ=j/6”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。
• 等比级数：“等比级数”是第4卷 第5章 期望中的正式知识节点：本章不把它当作标题或口号，而是给出对象、操作和成立条件，再用一个具体例子完成计算或推理，并说明改变一个前提时哪一步会失效；这样才能把概念迁移到新的题目。
• E[Xⱼ]=6/(6-j)：“E[Xⱼ]=6/(6-j)”在第4卷 第5章 期望中是一个可回代的记号或中间结论：先写清变量、定义域与前提，再按本章给出的公式或程序执行一步，最后把结果代回原约束检查；只记住符号外形而不检查边界，不能算作完成理解。