第1卷 第5章 基本不等式

学习目标

• 能在声明非负定义域后计算算术平均与几何平均，并准确写出 AM-GM 不等式
• 能用平方根差和平方比较两条路线证明不等式，同时从同一个平方读出等号条件
• 能用归一化解释比例与对称性，区分共同尺度和不均衡程度
• 能把 AM-GM 迁移到固定和乘积最值，并验证上界/下界在原约束下确实可达

从“平均”开始提出疑问

给两个非负实数a,b，一种算术平均把它们相加后平分，另一种几何平均先相乘再开平方：

$$A=\frac{a+b}{2},qquad G=\sqrt{ab}.$$

先预测：哪个平均更大；什么时候一样大；若把a,b换成两个负数，原结论是否仍成立；固定a+b时，怎样让ab最大？第1卷第5章从“满是疑问”进入不等式，再进一步观察证明与应用，最后回到“关于学习”：公式不是答案终点，而是继续追问前提、等号和迁移方式的起点。

官方核心“基本不等式”通常写作算术平均大于等于几何平均。完整陈述必须包含对象和定义域：对a,b≥0，有(a+b)/2≥√{ab}，当且仅当a=b取等号。省掉任何一部分，应用最值时都可能出错。

两种平均到底平均了什么

保持总和：把a+b重新均匀分成两份，每份就是A。它对任意实数都有定义。保持乘积：边长为a,b的矩形面积是ab，同面积正方形的边长就是G。

本章讨论的“算术平均与几何平均”关系为：

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}qquad(a,b\ge0).$$

这个也称算术—几何平均不等式。a=1,b=9时，A=5,G=3；a=b=4时，两者都为4。样本帮助建立直觉，但不能证明所有非负实数都成立。

“平均”不是一个唯一操作。算术平均适合可相加的总量，几何平均适合倍率、比例或面积尺度。若一项为0，几何平均立刻为0；算术平均仍保留另一项的一半。若两项不均衡程度增加而和固定，几何平均下降，这正预告了后面的最值结论。

不等式需要方向、定义域和等号

不像等式那样在许多操作下保持原方向。两边加同一个实数，方向不变；乘正数，方向不变；乘负数，方向反转；平方或开方则必须先检查符号与函数单调性。

例如由-2<-1平方得到4>1，方向改变，不是因为“平方会自动反向”，而是平方函数在整个实数轴上并不单调。对非负数，平方和开平方都是单调递增，才能安全地在X≥Y≥0与X²≥Y²之间来回。

完整不等式还要说明。在最值问题中，“f(x)≤M”只证明M是上界；若没有某个合法x使f(x)=M，就不能断言最大值是M。等号条件负责把“不会超过”升级为“最大值确实可达”。

第一种证明：把差写成平方

对a,b≥0，平方根存在。直接计算两种平均的差：

$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2} =\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{2}\ge0.$$

这条证明极短，却同时回答三个问题。差非负，所以A≥G；差的大小由两个平方根的距离决定；平方等于0当且仅当√a=√b，也就是a=b。把比较问题变成寻找结构的问题。

证明不是从结论开始把符号推到一个熟悉式子后就结束。要检查每步可逆：上面的等号都是恒等变形，最后只用“实数平方非负”；等号条件也从同一个平方读取。没有偷偷除以可能为0的数，因此a=0或b=0仍被覆盖。

第二种证明：先比较平方

也可以从任何实数平方非负开始：

$$(a-b)^2\ge0 \Longrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab \Longrightarrow (a+b)^2\ge4ab.$$

当a,b≥0时，a+b≥0且2√{ab}≥0，开平方保持方向，得到a+b≥2√{ab}。除以正数2即得基本不等式。这里“双方非负”是开平方前不可省略的门槛。

这条路线以(a-b)^2为起点，等号条件是a=b。与平方根差证明相比，它在展开阶段不需要先引入√a,√b，但在最后开方时必须检查非负。不同证明暴露不同风险，正适合互相校验。

进一步观察：归一化后只剩比例

当a,b>0时，令t=√(a/b)>0。两种平均的比值为：

$$\frac{A}{G} =\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} =\frac12\left(t+\frac1t\right).$$

而：

$$t+\frac1t-2 =\frac{(t-1)^2}{t}\ge0.$$

因此A/G≥1，等号当且仅当t=1，也就是a=b。归一化揭示差距只与比例a/b有关，与共同尺度无关：把a,b同时乘正数c，两个平均都乘c，比值保持不变。

这种归一化让“数值多大”与“彼此多不均衡”分离。比值t偏离1越远，t+1/t越大；交换a,b相当于把t换成1/t，表达式不变，正好反映两个变量的对称性。

还可推广到正权重λ∈[0,1]：

$$\lambda a+(1-\lambda)b\ge a^\lambda b^{1-\lambda}.$$

本章不要求完整证明一般加权形式，但它说明“平均”可以按权重分配；λ=1/2就回到两数AM-GM。无论怎样推广，都要重新声明正数条件、权重范围和等号条件，不能从二元等权版本直接口头外推。

固定和时，乘积何时最大

设a,b≥0且a+b=S固定。由AM-GM：

$$\sqrt{ab}\le\frac{S}{2} \Longrightarrow ab\le\frac{S^2}{4}.$$

等号当且仅当a=b，结合和约束得a=b=S/2。所以固定和的两个非负数越均衡，乘积越大；最大值是S²/4。这里不只是找到了上界，还验证S/2,S/2属于原定义域并满足原约束，因此上界可达。

矩形提供直接应用。周长为2S意味着两边和为S，面积是ab，故正方形面积最大。若题目还要求边长为整数，S为奇数时a=b不可达，连续域结论只能给上界；必须在相邻整数中另行比较。这说明定义域改变会改变等号是否可达。

用偏差量化离最优点有多远

固定a+b=S时，可把两数写成围绕平均值的对称偏移：

$$a=\frac S2+d,\qquad b=\frac S2-d,qquad ab=\frac{S^2}{4}-d^2.$$

这不只说明d=0时乘积最大，还精确给出损失量：偏离均衡点|d|后，乘积比最大值少d²。交换a,b只把d变成-d，面积不变；最优点两侧的下降完全对称。非负约束又要求|d|≤S/2，因此参数化没有悄悄引入非法边长。

这个表达式也是平方差证明在优化问题中的另一种形态。AM-GM给全局界，偏差参数给离等号点的定量距离；面对近似最优解时，可以据此判断允许多大不均衡，而不只是回答哪个点最好。

AM-GM Lab

固定和 10：拖动不均衡量

重置

偏差 2d：0.0（a=5+d，b=5−d）

两数

a=5.0，b=5.0

乘积

ab=25.00

离最大值的损失

d²=0.00

公式验收：ab = 25 − d²，所以 d=0 时乘积达到 25；偏离均衡点的损失正好是 d²。

固定积时，和何时最小

设a,b≥0且ab=P固定。AM-GM直接给出：

$$a+b\ge2\sqrt{ab}=2\sqrt P.$$

等号当且仅当a=b=√P。因此固定正乘积时，两数越均衡，和越小。固定和与固定积是同一不等式的两个读法：前者把算术平均当常量，约束几何平均上界；后者把几何平均当常量，约束算术平均下界。

关于学习：从结论继续追问

不等式学习常被压缩为背方向：“算术平均不小于几何平均”。更有效的检查表是：变量属于什么集合；每个根式和除法是否有定义；为什么方向成立；等号何时成立；当前问题固定了什么量；结论给上界还是下界；这个界能否达到。

同一命题保留多种证明也不是重复。平方根差最直接暴露A-G，平方比较训练开方边界，归一化揭示比例与对称性，矩形模型把代数变成面积。遇到新不等式时，可以依次尝试“移到一边、配成非负量、归一化、寻找对称与等号点”，再用另一条路径复核。

反例同样是学习工具。两个负数说明非负定义域不能删；只写a+b≥2√{ab}却不说明根式范围，会让表达式本身失去意义；整数约束说明等号条件可能在新定义域不可达。一个反例不是破坏数学，而是在标定命题的精确边界。

本章回顾：平均关系是一套证明协议

1. 算术平均保持和，几何平均保持积；本章比较要求两个输入均为非负实数。
2. 基本不等式为(a+b)/2≥√{ab}，等号成立条件是a=b。
3. 平方根差、平方比较与归一化都能证明AM-GM，但每条路线有不同的定义域检查点。
4. 固定和时乘积最大值为S²/4，固定积时和的最小值为2√P，均在两数相等时达到。
5. 上界或下界不自动等于最值，必须验证等号点满足原定义域与约束。
6. 学习不等式要追踪对象、方向、合法变形、等号与迁移，不把结论缩成一句口诀。

互动实验：从平均到最值

⚡分步1 / 4

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

重置

1. 比较两种平均

先固定两个非负输入，观察算术平均和几何平均的数值差异，再猜测等号何时出现。

上一步播放下一步

练习：把边界与等号写完整

练习

问题 1　给定 a=1,b=9，计算 A 与 G，并说明这个样例为什么不能代替一般证明。

查看答案

A=(1+9)/2=5，G=√9=3，所以 A>G。它只说明一个合法输入的现象，不能覆盖所有 a,b≥0，一般结论仍需平方差或平方比较证明。

问题 2　用平方根差证明 A≥G，并从证明式中读出等号条件。

查看答案

A−G=(√a−√b)²/2≥0，因为实数平方非负；平方为0当且仅当 √a=√b，在非负定义域中等价于 a=b。

问题 3　若 a+b=12 且 a,b≥0，求 ab 的最大值与取值点，并说明为什么上界可达。

查看答案

AM-GM 给出 ab≤(12/2)²=36。等号要求 a=b，和约束于是给出 a=b=6；这个点满足非负条件且确实有 ab=36，所以36是最大值。

问题 4　固定正乘积 ab=P 时，为什么 a+b≥2√P 是和的最小值，而不是只有一个下界？

查看答案

AM-GM 给出下界 a+b≥2√P；等号条件 a=b 与乘积约束共同给出 a=b=√P，该点属于正数定义域并能达到下界，因此它就是最小值。

概念核对：AM-GM 的四个验收节点

基本不等式

基本不等式把两个非负实数的算术平均与几何平均放在同一个方向关系里：(a+b)/2≥√{ab}。完整陈述同时包含定义域、比较方向和等号条件，任何一项缺失都会让后续最值应用失去验收依据。

算术平均与几何平均

算术平均来自“把总和等分”，几何平均来自“把乘积开平方”。前者对任意实数的加法表达式可定义，后者在本章的实数语境要求 ab≥0；比较它们时不能只看数字名称，还要看它们保持的量。

AM-GM不等式

AM-GM不等式可以被证明、归一化并迁移到固定和/固定积问题。固定和时它给出乘积上界，固定积时它给出和下界；两种读法共享同一等号条件，却有不同的约束回代步骤。

等号成立条件

等号成立条件是 a=b。在连续非负定义域里，固定和 S 给出可达点 a=b=S/2；若改成整数并且 S 为奇数，这个点可能不再属于新定义域，就必须重新比较相邻整数候选。

术语表

名词解释

本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。

算术平均

把若干项相加后除以项数；两项时是 (a+b)/2。

几何平均

把两项相乘后开平方；两项非负时是 √{ab}。

定义域

变量允许取值的范围，决定公式是否有意义以及等号点是否合法。

上界

所有合法结果都不超过的数；只有能达到时才是最大值。

等号条件

说明不等式何时从严格比较变成等号的附加条件。

归一化

去掉共同尺度、保留比例结构的改写方法。