第 3 章：线性映射

区分线性映射与其矩阵表示，沿零空间、值域、秩-零度、换基、商空间与对偶建立完整结构链。

学习目标

  • 能先写出“第 3 章：线性映射”的域、空间、维数与量词，再判断定理是否可用
  • 能从定义和见证重建“若 V 有限维且 T∈L(V,W)，则 dim V = dim null T + dim range T。”的五步证明链
  • 能用“令 T(x,y,z)=(x+y,y+z)。解 null T 得 span((-1,1,-1))，值域为 R^2，于是 3=1+2。”完成一次非平凡计算或结构检查
  • 能删除一条假设并用“只给出矩阵 A 却不声明输入/输出基，然后把换基后的矩阵误认为另一个线性映射。”说明结论如何失效

为什么从这个问题开始

矩阵换了为什么线性映射没有换，核与像又怎样把定义域维数精确分开？ 本页不把矩阵计算当作最终答案，而是先固定域、空间、维数和量词，再区分定义、见证、不变量与坐标表示。证明基本定理时，先取 null T 的基并扩充为 V 的基；扩充部分的像恰好构成 range T 的基。矩阵只是这条基选择后的坐标记录。

官方第四版定位

本页依据 Sheldon Axler 官方开放获取 PDF 独立编排中文教学结构。当前核对版本在版权页标注 fourth edition, 13 July 2026, © 2024 Sheldon Axler；作者官网 与 Springer 第四版页面 共同确认 9 章、开放获取与第四版范围。旧版页码、目录和练习编号不能替代本页列出的第四版正式节点。

正式目录逐项映射

  • 3A Vector Space of Linear Maps：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Definition and Examples of Linear Maps：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Algebraic Operations on L(V, W)：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • 3B Null Spaces and Ranges：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Null Space and Injectivity：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Range and Surjectivity：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Fundamental Theorem of Linear Maps：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • 3C Matrices：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Representing a Linear Map by a Matrix：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Addition and Scalar Multiplication of Matrices：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Matrix Multiplication：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Column-Row Factorization and Rank of a Matrix：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • 3D Invertibility and Isomorphisms：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Invertible Linear Maps：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Isomorphic Vector Spaces：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Linear Maps Thought of as Matrix Multiplication：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Change of Basis：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • 3E Products and Quotients of Vector Spaces：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Products of Vector Spaces：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Quotient Spaces：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • 3F Duality：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Dual Space and Dual Map：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Null Space and Range of Dual of Linear Map：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。
  • Matrix of Dual of Linear Map：在“第 3 章：线性映射”中定位它的定义对象、输入假设、允许使用的定理和坐标无关结论；复核时必须能给出正常见证与删除假设后的边界。

定义、对象与量词

  • ：保持向量加法和标量乘法的函数。 在本页推导中必须同时写出所属空间与适用前提。
  • ：被 T 映到 0 的全部输入。 在本页推导中必须同时写出所属空间与适用前提。
  • ：所有 T(v) 组成的陪域子空间。 在本页推导中必须同时写出所属空间与适用前提。
  • ：定义域维数分解为核维数与值域维数。 在本页推导中必须同时写出所属空间与适用前提。
  • ：同一映射在不同坐标基下更换矩阵表示。 在本页推导中必须同时写出所属空间与适用前提。

必须先声明以下假设：

  • T 的定义域 V 是有限维
  • T 满足加法与标量乘法的线性条件
  • null T 与 range T 使用同一个 T
  • 矩阵表示必须同时声明定义域基与陪域基

Quantifier · space · hypothesis

第 3 章：线性映射：假设检查台

矩阵换了为什么线性映射没有换，核与像又怎样把定义域维数精确分开？

选择一条不可省略的假设

lad4-03 · assumption 1

若 V 有限维且 T∈L(V,W)，则 dim V = dim null T + dim range T。

当前必须成立T 的定义域 V 是有限维
用于重建证明

令 T(x,y,z)=(x+y,y+z)。解 null T 得 span((-1,1,-1))，值域为 R^2，于是 3=1+2。

保持量：映射的核、像、可逆性与秩不随坐标基改变。

核心定理与证明入口

本页主张： 若 V 有限维且 T∈L(V,W)，则 dim V = dim null T + dim range T。

dim⁡V=dim⁡null⁡T+dim⁡range⁡T\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T

这条主张的验收不是背公式。复核者要能从同一对象重建下列证明骨架，并在每一步指出使用了哪条定义或已有定理：

  1. 声明对象：T 的定义域 V 是有限维 依据是：先冻结“第 3 章：线性映射”的域、空间与量词，避免证明中途换题。
  2. 展开定义：线性映射与零空间按定义进入推导 依据是：只使用“第 3 章：线性映射”正文已声明的定义，不把待证结论当引理。
  3. 构造见证：令 T(x,y,z)=(x+y,y+z)。解 null T 得 span((-1,1,-1))，值域为 R^2，于是 3=1+2。 依据是：非平凡对象让“若 V 有限维且 T∈L(V,W)，则 dim V = dim null T + dim range T。”中的结构可以逐步检查。
  4. 保持不变量：映射的核、像、可逆性与秩不随坐标基改变。 依据是：每一步都核对“第 3 章：线性映射”真正不随选择改变的量。
  5. 封闭结论：若 V 有限维且 T∈L(V,W)，则 dim V = dim null T + dim range T。 依据是：结论只覆盖四条假设允许的范围，并与“只给出矩阵 A 却不声明输入/输出基，然后把换基后的矩阵误认为另一个线性映射。”区分。

Definition · lemma · claim

第 3 章：线性映射：证明重建器

选择一个必须能解释的推导节点1 / 5
本步结论

T 的定义域 V 是有限维

允许使用的理由

先冻结“第 3 章：线性映射”的域、空间与量词，避免证明中途换题。

交付工件：核的一组基、扩充后的定义域基、对应值域基和维数等式。

正常例：把抽象结构落到一个对象

令 T(x,y,z)=(x+y,y+z)。解 null T 得 span((-1,1,-1))，值域为 R^2，于是 3=1+2。 这个例子必须保存输入基、所属空间、关键中间对象和“映射的核、像、可逆性与秩不随坐标基改变。”的检查结果。对 T(x,y,z)=(x+y,y+z) 同时使用标准基与一个三角基写矩阵，核和值域的坐标会变，但维数与单射/满射判断保持不变。

反例与适用边界

只给出矩阵 A 却不声明输入/输出基，然后把换基后的矩阵误认为另一个线性映射。 反例只删除一条假设，其余对象保持不变；这样才能定位结论首次失效的位置，而不是换一道完全不同的题。

Remove one hypothesis · preserve the witness

第 3 章：线性映射：反例实验

1. 冻结对象成立

第 1 次沿用同一个域、空间、映射和基

2. 删去假设成立

所有假设仍保留

3. 寻找首差成立

令 T(x,y,z)=(x+y,y+z)。解 null T 得 span((-1,1,-1))，值域为 R^2，于是 3=1+2。

4. 恢复结论成立

核的一组基、扩充后的定义域基、对应值域基和维数等式。

最小可重放记录

page: 02-maps-polynomials/lad4-linear-maps
theorem: 若 V 有限维且 T∈L(V,W)，则 dim V = dim null T + dim range T。
normal_object: 令 T(x,y,z)=(x+y,y+z)。解 null T 得 span((-1,1,-1))，值域为 R^2，于是 3=1+2。
removed_hypothesis: T 的定义域 V 是有限维
boundary_object: 只给出矩阵 A 却不声明输入/输出基，然后把换基后的矩阵误认为另一个线性映射。
invariant: 映射的核、像、可逆性与秩不随坐标基改变。
artifact: 核的一组基、扩充后的定义域基、对应值域基和维数等式。

代码、数值或图形只能验证具体对象，不能替代全称证明。“第 3 章：线性映射”的交付物至少包含 核的一组基、扩充后的定义域基、对应值域基和维数等式。；若换基后结论变化，必须先区分是坐标变化还是结构真的变化。

练习与答案

练习

问题 1： 求 T(x,y,z)=(x+y,y+z) 的零空间和值域维数。

问题 2： 说明同一线性映射在两组不同基下矩阵为何可能完全不同。

问题 3： 给出 injective 但不 surjective 的有限维线性映射，并指出维数关系。

本章回顾

若 V 有限维且 T∈L(V,W)，则 dim V = dim null T + dim range T。 本页掌握标准是：会声明假设、会构造正常见证、会逐步说明理由、会删除一条假设制造反例，并能解释“映射的核、像、可逆性与秩不随坐标基改变。”为什么不依赖偶然坐标。

名词解释

本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。

线性映射

保持向量加法和标量乘法的函数。 本页使用这个词时同时保留对象、域与必要假设。

零空间

被 T 映到 0 的全部输入。 本页使用这个词时同时保留对象、域与必要假设。

值域

所有 T(v) 组成的陪域子空间。 本页使用这个词时同时保留对象、域与必要假设。

秩-零度定理

定义域维数分解为核维数与值域维数。 本页使用这个词时同时保留对象、域与必要假设。

换基

同一映射在不同坐标基下更换矩阵表示。 本页使用这个词时同时保留对象、域与必要假设。

讨论

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