GPU Gems 3 · Chapter 20. GPU-Based Importance Sampling

先问：为什么镜面反射不能把环境图只采几次

想象一块抛光金属：它看到的环境并不是一块固定颜色，而是半球上不同方向的光经过材质反射后共同贡献的结果。把环境图每个 texel 都乘一遍 BRDF，画面会很准，却远远超出实时 shader 的预算。

本章解决的是：怎样把有限的样本集中在真正重要的方向，同时让每个样本代表它附近合理大小的环境区域。没有这条路径，均匀采样会把工作浪费在暗处，少量确定性样本又会变成重复高光和明显条纹。

1. 把环境光照写成可估计的积分

对一个表面点和视线方向 v，目标是把每个入射方向 u 的环境光、材质响应和入射余弦相乘，再在可见半球上累积成出射光。环境图把方向 u 变成纹理查询，但一张高分辨率环境图可能包含成千上万的方向。

有限样本的估计是“样本贡献的平均”。样本少时，估计值会偏离真实积分；如果样本分布不均，误差会表现为噪声或重复高光。重要性采样的关键是让样本分布贴近被积函数中最有贡献的部分，而不是机械地均匀撒点。

2. 用 PDF 把样本集中到重要方向

对光泽材质，镜面反射方向附近通常贡献更大，所以可以用归一化 BRDF 作为 probability density function。它告诉我们“哪些方向常被采到”，但也带来一个必须遵守的补偿：高概率区域中的一个样本只代表很小的一片，低概率区域中的一个样本代表更大的一片。

因此估计器要把每个样本乘以其 PDF 的倒数，再做平均。这样偏置分布不会改变积分的期望值。真正的最优 PDF 应该接近 BRDF 与环境光的乘积；那通常需要更多预计算，因此本章采用更容易实时改变材质和环境的 BRDF-only 近似，再配合后面的样本过滤。

3. 用 CDF 反解把均匀输入变成偏置方向

GPU 最方便得到的是 [0, 1] 范围内的均匀数对 ξ1, ξ2。要从它们生成 BRDF 方向，先把二维 PDF 拆成一个边缘分布和一个条件分布，再分别积分成 cumulative distribution function，最后用反函数得到球面角度。

直觉上，CDF 是把概率“堆起来”的尺子。PDF 高的区间在尺子上占更长，更多均匀输入就会落在那里；PDF 低的区间占更短，但一旦命中，就代表更大的积分区域。对 Phong glossy lobe，可以围绕镜面方向建立局部坐标，把生成的方向变回切线空间，再变到世界空间。

采样坐标系需要一条明确的基准：镜面方向定义局部 z 轴，切线、副切线和法线把它带回世界空间。围绕镜面方向的旋转存在一个自由轴，工程实现可以选一个不与 z 轴共线的辅助轴，再用正交化得到稳定的基。

4. 用低差异序列铺开有限样本

独立伪随机数会偶尔成团，也会留下空洞。样本数量只有几十个时，这种覆盖不均会直接转化为估计误差。Hammersley sequence 的第二维使用 radical inverse：把样本索引的二进制位从小数点两侧反射，得到一条稳定、均匀的低差异序列。

低差异不是“不会出错的随机数”。它把噪声变成更有规律的覆盖，固定样本数下通常收敛更快，但规律性也可能显出别名，像多出几块重复的高光。因此本章不把序列当成最后一步，而是让它与 PDF 引导和 mipmap 过滤一起使用。

5. 让每个样本按 PDF 选择环境图 mip

如果一个方向的 PDF 很低，附近很少有其他样本会落在那里，那么这个样本应该从环境图较大的邻域取平均；如果 PDF 很高，许多样本已经会共同平均那片区域，这个样本只需读取较细的邻域。样本代表的立体角与 1 / (PDF × N) 成正比，N 是样本数。

环境图 mip 是天然的 GPU 平均结构：层级越高，覆盖的 texel 区域越大。实现时先根据样本立体角估算它覆盖的零级 texel 数，再取对数得到 mipmap level of detail。实践中可加入小幅偏移，让相邻样本有轻微重叠，减少锐利边界。

6. 用 dual-paraboloid 保住过滤邻域

cube map 的几何失真很小，但硬件通常按每个面独立生成 mip。跨面采样时，一个样本周围本应相邻的环境信息可能落在另一面，平均区域就会被切断。dual-paraboloid mapping 用上下两张纹理承载两个半球，每张半球纹理都带进一部分对侧信息，因此过滤时更少出现接缝。

原书还对通常的抛物面映射加入约 1.2 的缩放，让投影圆周向外扩展一点，进一步增加重叠。这个选择牺牲少量纹理空间，却让低 PDF 样本的宽区域平均更接近真实环境。环境布局因此不是采样函数之外的细节，而是过滤算法的一部分。

7. 把采样、过滤和着色合并成一个短循环

float3 GPUImportanceSample(float3 viewing, Texture2D environment) {
  float3 accumulated = 0.0;
  for (int k = 0; k < SAMPLE_COUNT; ++k) {
    float2 xi = hammersleySequence(k, SAMPLE_COUNT);
    float3 direction = sampleMaterial(xi, viewing);
    float pdf = materialPdf(direction, viewing);
    float lod = computePdfAwareLod(direction, pdf, SAMPLE_COUNT);
    float2 uv = dualParaboloid(direction);
    float3 light = environment.SampleLevel(linearSampler, uv, lod).rgb;
    accumulated += light * materialWeight(direction, viewing) / pdf;
  }
  return accumulated / float(SAMPLE_COUNT);
}

实际实现可以四个方向并行生成，预计算三角函数和低差异序列，并在代数上消掉 BRDF 与 PDF 中会相互抵消的项。重点仍然是状态依赖的顺序：生成方向、得到 PDF、计算 LOD、采环境图、累积并除以样本数。

本章小结

• 环境光照积分可以用有限方向样本近似
• BRDF PDF 把样本集中到高贡献方向，但必须用倒数补偿
• CDF 反解把均匀输入变成可控的偏置方向
• Hammersley sequence 改善低样本数下的覆盖，过滤抑制规律性别名
• PDF 感知 mip 与 dual-paraboloid 共同把样本区域变成可用的环境平均