GPU Gems 2 · Chapter 26. Implementing Improved Perlin Noise

从“每次都一样的自然起伏”开始

石头、烟雾和水面都需要不规则细节，但逐点独立掷骰会产生刺眼颗粒，手工绘制又难以覆盖无限空间。我们需要一种函数：同一位置永远返回同一结果，邻近位置缓慢变化，移动观察时也不会突然换图案。

若只把一小块随机体积反复铺开，边界和周期很快暴露；若每次真的生成随机数，帧与帧又无法复现。更稳妥的办法是让整数格点提供确定方向，再用平滑权重重建格点之间的值。猜一猜：把实验从 quintic 切到 cubic，颜色切片仍连续，但哪一级导数会先暴露格子？

本章的 Implementing Improved Perlin Noise 不是“生成一张看起来随机的图”，而是精确实现一条确定数据流：坐标定位 cell，hash 选择梯度，角点点积产生局部贡献，平滑权重完成插值。

1. 程序计算与 3D volume 的取舍

合格的 noise 应具备五个工程性质：相同输入可重复；输出范围已知，通常落在约 $[-1,1]$；空间频率带限且平滑；没有明显短周期图案；平移输入不会改变统计频率。它不是 white noise，而是受空间结构约束的伪随机函数。

预计算 3D texture 的优点是硬件采样便宜，缺点是占用体积内存、周期由 texture size 限制，hardware linear filtering 质量低于 improved interpolation，也无法直接表达四维动画输入。程序路径不保存完整噪声体积，只保存小型索引数据；代价是 shader 自己完成 hash、dot 与 interpolation。

2. 用 permutation 把晶格坐标变成 hash

对输入位置 $p=(x,y,z)$，先分离整数 cell 与局部坐标：

这个式子在说：$P$ 决定当前 256 周期晶格 cell，$q$ 是查询点在该 cell 内的零到一位置。CPU 常把 permutation array 复制一遍以避免越界；GPU 版本可把 256 项放进 1D texture，并使用 wrap addressing。

三维 hash 不是把 $(x,y,z)$ 直接拼接，而是逐轴嵌套：先查 perm(P.x)，加 P.y 后再查一次，最后加 P.z 再查。这使相邻晶格角得到看似无规律、却完全可重复的索引。为了保持“离散表”语义，permutation sampler 必须 point filter、wrap U、关闭 mipmapping。

float perm(float index) {
  return texture(permTexture, index / 256.0).r * 256.0;
}
 
float a = perm(cell.x) + cell.y;
float aa = perm(a) + cell.z;
float ab = perm(a + 1.0) + cell.z;
float b = perm(cell.x + 1.0) + cell.y;
float ba = perm(b) + cell.z;
float bb = perm(b + 1.0) + cell.z;

3. gradient texture 与角点贡献

reference CPU 用 hash 的低位通过 bit manipulation 选择 gradient。原章所面对的 pixel shader 缺少所需 integer operations，因此把 16 个编码项预计算进小型 texture。表中存在重复方向，它们保持与 reference hash-to-gradient mapping 一致；不能自行“去重”后仍声称 exact match。

每个角点 $c_{ijk}$ 的贡献为

这个式子在说：hash 只负责选择方向 $g$；真正随位置连续变化的是该方向与“角点到查询点”位移的 dot product。查询点周围共有八个角，因此每次三维求值要构造八个 contribution。

gradient texture 也必须 point sample。若格式会 normalize signed vectors，应核对编码与 shader 解码；若使用低精度 signed texture，还要把 quantization 纳入 CPU/GPU tolerance。最可靠的 fixture 包含八个角点、cell center、靠近边界的正负坐标和标准 permutation 的固定输出。

4. quintic fade 与三轴插值

原始 cubic 权重 $3t^2-2t^3$ 在端点让一阶导数为零，但二阶导数跨 cell 跳变。improved algorithm 使用

这个式子在说：$f(0)=0$、$f(1)=1$，并且两端的一阶、二阶导数均为零，所以相邻 cell 拼接时达到 $C^2$ 连续。对 bump、normal 或任何 derivative-based effect，这能减少晶格边界显影。

求出 $f(q_x),f(q_y),f(q_z)$ 后，先沿 x 把八个 corner contributions 混成四个，再沿 y 混成两个，最后沿 z 得到一个 noise value。这里不能把 quintic weights 交给普通 trilinear texture filtering，因为硬件过滤只使用局部线性权重。

vec3 w = fade(localPosition);
float z0 = mix(
  mix(c000, c100, w.x),
  mix(c010, c110, w.x),
  w.y
);
float z1 = mix(
  mix(c001, c101, w.x),
  mix(c011, c111, w.x),
  w.y
);
return mix(z0, z1, w.z);

5. packed lookup：把重复工作搬到纹理生成期

直接移植 reference 的优点是容易核对，代价是 81 条 Pixel Shader 2.0 instructions，其中 22 次 texture lookups。主要浪费来自递归 permutation reads，以及八个 gradient 读取前重复的最终 permutation lookup。

第一项优化是构建 $256\times256$ RGBA texture：每个 texel 预先保存四个相关 hash，一次 2D read 替代多次递归 1D reads。第二项是把 gradient table 扩成 256 项，并按 permutation 预先重排，从而去掉 gradient 前的最终 hash lookup。

优化后原章报告 53 条 instructions、9 次 texture lookups。这个变化只重排“在哪里算”，不应改变 permutation、gradient 或 fade；因此必须用同一批 CPU fixtures 做 bit-exact 或约定容差比较。只看纹理形状相似，无法证明优化保持语义。

6. 精确一致性、成本与四维扩展

程序 noise 的价值不只在视觉质量。相同表与数学允许 CPU authoring、offline baking 和 GPU preview 共享一套结果；四维输入还能把时间作为额外坐标，让三维体积平滑动画，而不依赖当时不存在的 4D texture hardware。

但 exact 仍需定义浮点边界：负坐标的 floor 与 modulo、texture coordinate center、normalized format 解码、compiler reassociation 都可能造成差异。测试应覆盖整数点、边界两侧、远离原点、周期 256 前后和四维时间切片，并记录比较是 bitwise 还是 epsilon-based。

约 50 条 pixel instructions 对早期实时应用仍然昂贵；原章将其定位为高质量、offline-like rendering 和 CPU parity 重要的场景。今天硬件更强，但“以 arithmetic 换 memory、以确定性换预烘焙体积”的决策仍需要根据采样次数、cache、目标分辨率与材质预算测量。

三步验证：先正确，再连续，最后优化

三阶段共享同一组 coordinate fixtures 和标准表。每完成一步，都保存 hash、gradient、corner contribution 和最终 noise，确保下一步出现差异时能定位到具体层级。

本章小结

• gradient noise 用确定梯度与平滑插值制造可重复自然变化。
• permutation 与 gradient texture 必须保持 reference 顺序并 point sample。
• 八个 lattice corners 先点积，再按 quintic fade 沿三轴混合。
• packed lookup 把 22 次 texture reads 降到 9 次而不应改变输出。
• CPU/GPU parity 必须覆盖负坐标、边界、周期和 4D 切片。