GPU Gems 2 · Chapter 45. Options Pricing on the GPU

投资工具的“公平价值”不是一个画出来的形状，而是一组输入假设经过数值计算后的结果。GPU 适合这类工作，前提是我们把每份期权的输入放在对应位置，让同一个程序对许多位置重复执行。

本章比较两条路线：Black-Scholes 用一组解析表达式直接得到 European option 价格；binomial lattice 把未来价格离散成树，再从到期日逐层向后回推。前者每个像素几乎独立，后者单棵树有时间依赖，但许多独立期权仍然可以并行。

1. 先定义期权输入和 payoff

option 的价值来自 underlying asset。最小输入契约包括 spot price S、strike price X、maturity T、risk-free rate r 和 volatility σ。本章先讨论 European call：只允许在到期日执行，payoff 是 max(S − X, 0)。

S 高于 X 时，call 的内在价值为正；T 越长或 σ 越大，未来 spot 的不确定范围通常越宽，期权价值也会受到影响。r 用连续复利把未来的 payoff 折算到今天。这里的“通常”很重要：它描述模型的敏感性，不代表真实市场中每个变量都独立或稳定。

2. Black-Scholes：解析模型的 GPU 映射

Black-Scholes model 对 European call 的核心形式是 V = S × CND(d₁) − X × e⁻ʳᵀ × CND(d₂)，其中 d₁ 和 d₂ 由 S、X、T、r 和 σ 共同决定，且 d₂ = d₁ − σ√T。

一份期权的计算只读取自己的五个输入和共享的 r，不会依赖旁边像素的结果。GPU 可以把四张二维输入数组放在相同坐标：exercise price、asset price、time to expiration 和 volatility；在每个像素运行 fragment program，输出一张同尺寸的 price texture。

float BlackScholesCall(float S, float X, float T, float r, float v) {
    float d1 = (log(S / X) + (r + v * v * 0.5f) * T) / (v * sqrt(T));
    float d2 = d1 - v * sqrt(T);
    return S * CND(d1) - X * exp(-r * T) * CND(d2);
}

这段代码的重点不是旧 API，而是数据流：五个标量输入 → 一个价格输出。只要后续计算也留在 GPU，CPU↔GPU 通信就不会成为每份 option 都要支付的固定成本。

3. CND 和算术强度

cumulative normal distribution 没有简单的闭式表达式，因此 GPU 版本使用多项式近似。先计算 K = 1 / (1 + a|x|) 和它的幂次，再把系数与幂次组成四路向量，用 dot(float4, float4) 合并多项式项。

arithmetic intensity 高是 Black-Scholes 适合 GPU 的原因之一：一次输入取样会触发 log、除法、sqrt、exp、CND 多项式和组合运算，输出却只有一个 float。原章还利用 GPU 的四路向量硬件预计算幂次；这不是改变数学模型，而是改变同一数学表达式的执行形状。

需要谨慎处理输入边界。T 或 σ 为零时，d₁ 的分母会退化；S 和 X 必须为正；CND 近似要在正负输入两侧保持一致。生产实现应把这些条件作为数据清洗和 shader 分支契约，而不是让 NaN 传遍整张价格纹理。

4. Binomial lattice：用动态规划处理更灵活的 exercise

lattice model 把 maturity T 切成 N 个时间步。每一步的资产价格向上乘 u，向下乘 d；到期叶子先计算 payoff，再用上、下节点的期望值乘折现因子得到当前层的值。

它本质上是 <Term def="把复杂问题拆成相邻子问题，并从已知的终点状态逐步回推当前状态的算法方法">dynamic programming</Term>：同一节点的价值由下一列两个节点决定。European option 只需要 continuation value；American option 还要在每个节点比较“继续持有”和“立即执行”的较大值，因此 lattice 比 Black-Scholes 更适合表达提前执行约束。

dt = T / N
u  = exp(σ * sqrt(dt))
d  = 1 / u
V  = payoff at maturity
for time = N - 1 down to 0:
    V[j] = discount * (Pu * V[j + 1] + Pd * V[j])

一棵树内部的列必须按顺序从右到左推进；但要同时定价数百或数千份相互独立的 option，就可以把不同树放到不同线程或纹理位置，让 GPU 保持高 occupancy。

5. 动手实验：比较两个模型的实际输出

先预测：把模型从 Black-Scholes 切换到 binomial lattice，增加 steps 会不会让价格稳定地靠近解析结果？把 volatility 拖高，价格曲线的哪一段变化最明显？

实验固定 X = 100、T = 1、r = 0.05，使用实际的 CND 近似和 binomial backward induction 计算 European call。敏感曲线不是预先写入的分数，而是对一组 spot 值重新调用当前模型得到的价格；lattice 预览则显示四步树的 payoff 节点。

6. 正确性、吞吐与边界

Black-Scholes 的每份输入几乎独立，适合把大量像素作为并行 work items；lattice 的单棵树有列依赖，适合通过多份期权扩大并行规模。两者都应该比较同一输入下的 CPU 参考值和 GPU 输出，并检查浮点误差、CND 尾部、lattice 步数和边界 payoff。

GPU 速度也不能脱离数据搬运来讨论。若每次只把少量数据送上 GPU、只做一条短公式、再立刻把结果读回 CPU，PCI Express 往返会吞掉收益。把后续组合计算、风险指标或批量筛选继续放在 GPU 上，才能让高 arithmetic intensity 真正摊薄通信成本。

本章只讨论模型实现，不提供投资建议。真实使用还需要校准波动率、利率、股息、流动性、交易成本和 exercise 规则，并由合规的金融系统验证假设；GPU 只负责在给定模型下高吞吐地计算。

小结

• option 价格是输入契约与模型假设下的数值，不是市场保证。
• Black-Scholes 对 European call 给出独立、运算密集的像素级计算。
• CND 多项式可以通过幂次预计算和 float4 dot 提高 GPU 利用率。
• lattice 用反向动态规划表达更灵活的 exercise，但单棵树有顺序依赖。
• 多份独立 option、足够的算术强度和留在 GPU 的后续计算决定吞吐收益。