GPU Gems 1 · Chapter 5. Implementing Improved Perlin Noise

直觉引入：一块会呼吸的材质

想象一块岩石表面：它不应该像掷骰子一样每个像素都跳变，也不应该像一张被拉伸的照片那样露出接缝。我们希望在空间中移动时，颜色或高度连续变化；同一个位置再次计算时，还能得到同一个结果。

没有这种信号，程序材质只能依赖手工绘制的图像，换分辨率会模糊，换方向会暴露 UV 接缝，做凹凸光照时还会把采样网格直接照出来。本章把“可控的随机感”拆成可计算的目标，再逐个修掉原始算法的缺陷。

1. Noise 的目标：可重复的连续随机

这里的 Noise 不是白噪声，而是一个定义在三维空间上的伪随机信号。它应该满足三件事：输入位置不变时输出可重复；大部分能量集中在有限的空间频率范围；旋转观察方向时，统计外观不应偏向某个轴。

第二个目标可以称为 带限信号。第三个目标是 视觉各向同性。这三个词不是装饰：它们分别约束重复性、细节尺度和方向偏差。

对于材质，Noise 的输入通常是对象空间坐标 (x, y, z)，输出可以驱动颜色、位移、透明度或法线扰动。因为它是体积函数，所以不需要先把一张二维图像摊到模型表面；同一个函数也可以自然地穿过多个相邻物体。

2. 原始算法：八个角点与七次插值

先把空间位置拆成整数格点和小数部分：

这个式子在说：点落在由 (i,j,k) 和相邻格点围成的一个单位立方体里，u、v、w 是它离三个低坐标面的相对距离。

立方体有八个角。每个整数格点通过哈希得到一个伪随机 梯度场 方向；点与该角点的位移向量做点积，得到角点对当前采样的贡献。接着沿 x 方向插值四次，沿 y 方向插值两次，最后沿 z 方向插值一次，总共七次一维插值。

这个流程的直觉是“先在八个角上放方向，再让角的影响平滑地流过立方体”。它比直接生成独立随机值更连续，也为后面的硬件化留下了清晰的阶段边界。

float cornerContribution(vec3 offset, vec3 gradient) {
  return dot(offset, gradient);
}
 
float oldFade(float t) {
  return t * t * (3.0 - 2.0 * t);
}
 
// 先沿 x，再沿 y，最后沿 z；lerp 只是线性插值。
float latticeNoise(vec3 cell, vec3 fraction) {
  vec3 g000 = gradient(hash(cell + vec3(0, 0, 0)));
  // 其余七个角以同样方式取梯度并参与三层 lerp。
  return trilerp(cell, fraction, g000, oldFade);
}

代码中的 hash 只负责把格点映射到梯度表，trilerp 负责七次插值；把两者拆开，之后才能分别替换 fade 函数和梯度集合。

3. 两个缺陷：边界二阶跳变与方向聚团

原始实现使用三次 fade 函数：

这个式子在说：当采样点从一个晶格角移动到另一个晶格角时，权重从 0 平滑过渡到 1，并且端点的一阶导数为零。问题是它的二阶导数 f_3''(t)=6-12t 在两端不为零。对高度函数求导后，这个跳变就会变成 bump 光照里的规则伪影。

第二个问题来自梯度方向的选择。原始方式从球面上较大的伪随机集合里取方向；方向在局部聚团时，邻近区域会偏爱某些朝向，结果看起来像斑驳的高频污点。视觉系统对这种统计异常很敏感，哪怕方向总数很多，也不代表纹理更自然。

4. 改进一：五次插值抹平二阶不连续

改进版使用 五次 fade 函数：

这个式子在说：t=0 和 t=1 时，函数值仍分别是 0 和 1，同时一阶、二阶导数都为零，所以相邻晶格单元连接时不会把二阶跳变传给 bump mapping。

直接验算端点条件即可建立信心：

在 t=0 与 t=1 代入，两个导数都为零。这也是一个适合写成单元测试的契约：改动实现后，先测端点，再看整张纹理。

在旧硬件上，一维查表可以把 f_5(t) 近似成纹理读取；256 个表项和 16 bit 精度已经足够覆盖常见实时场景。高阶函数不必自动等于更贵，关键是看硬件是否能把插值放进已有的采样路径。

5. 改进二：用均匀梯度代替杂乱方向

改进版把方向集合换成正方体各条边中心对应的 12 个向量：(0,±1,±1)、(±1,0,±1)、(±1,±1,0)。它们的方向彼此分得更均匀，且很多点积可以简化成加减法，例如与 (1,1,0) 的点积就是 x+y。

为了让哈希更适合硬件，实际表里准备 16 个结果，让哈希只需返回一个随机 4 bit 值；额外的四个方向是重复项，不是为了增加视觉方向，而是为了简化查表控制逻辑。

不要把“12”背成新的魔法数字。真正要验收的是：方向分布不要局部聚团、点积路径要便宜、同一份实现跨 CPU 和 GPU 能返回一致的值。若自定义梯度表，先画球面分布或做方向直方图，再决定是否替换。

6. 像素着色器中的 fake noise：小体积加相位

完整的体积 Noise 直接在像素着色器中计算，指令数可能偏高；把整个大范围都预采样成三维纹理，又会遇到显存按边长立方增长的问题。折中的 环面平铺 先让一个小体积样本无缝循环，再用低频样本改变高频样本的相位。

原书给出的工程路线可以压缩成两层：一个 8×8×8 级别的细节体积负责局部纹理；同样尺度但频率更低的体积提供相位，让每个砖块里的细节方向不断变化。这里的“相位”可以看作旋转复数样本，而不是简单地把一张纹理平移几格。

实验中的曲线不是完整 GPU 实现，而是把关键决策显形：切换三次/五次 fade 会改变跨格点的平顺方式；调整频率会增加空间起伏次数；打开梯度和 bump normal 可以看见“方向贡献”和“法线修正”是不同阶段。每次调整前先预测，再点击改变参数，最后用重置恢复基线。

float fakeNoise(vec3 p) {
  vec2 low = sampleToroidalVolume(p / 9.0);
  vec2 high = sampleToroidalVolume(p);
  float angle = low.x * 6.2831853;
  vec2 rotated = vec2(
    cos(angle) * high.x - sin(angle) * high.y,
    sin(angle) * high.x + cos(angle) * high.y
  );
  return rotated.x;
}

这里用两个复数分量表达“旋转”，低频层不直接替代高频层，而是让高频层的重复结构失去固定相位。实现时仍要检查采样坐标、边界和精度，不能因为图案看起来不重复就跳过一致性测试。

7. bump mapping：不读取邻居顶点也能改法线

噪声函数可以直接作为像素阶段的高度函数 F(x,y,z)。要估计它在当前位置的变化方向，不必访问相邻网格顶点，可以使用 有限差分：

这个式子在说：沿三个轴各取一对很近的样本，用中心差分估计高度变化；ε 太大就抹平细节，太小又会放大精度噪声。

把估计出的变化从原始法线中减掉，再归一化：

这个式子在说：法线朝向随高度梯度倾斜，并重新恢复单位长度；因此不需要修改网格顶点，就能得到凹凸、皱褶或大理石纹理的光照变化。

vec3 finiteDifference(vec3 p, float epsilon) {
  vec3 dx = vec3(epsilon, 0.0, 0.0);
  vec3 dy = vec3(0.0, epsilon, 0.0);
  vec3 dz = vec3(0.0, 0.0, epsilon);
  return vec3(
    (noise(p + dx) - noise(p - dx)) / (2.0 * epsilon),
    (noise(p + dy) - noise(p - dy)) / (2.0 * epsilon),
    (noise(p + dz) - noise(p - dz)) / (2.0 * epsilon)
  );
}
 
vec3 bumpedNormal(vec3 normal, vec3 p) {
  return normalize(normal - finiteDifference(p, 0.01));
}

bumpedNormal 的效果仍受像素采样率限制。过高频率的 Noise 已经超过一个像素能分辨的尺度，只会在动画或镜头移动时闪烁；“更多细节”不等于“更多真实感”。

8. 工程取舍：频率、精度与硬件路径

程序纹理的优势是分辨率无关：靠近模型时可以加入更高频的层，远处则减少层数。常见的 turbulence 会让频率逐层翻倍，同时把每层振幅按频率衰减；实际循环上限应由图像宽度、像素采样率和材质运动速度共同决定。

但每增加一层，采样、带宽或指令成本都会增加。对实时渲染，可以采用以下顺序：先验证五次 fade 的端点条件；再确认梯度方向没有聚团；最后测量 3D 采样、相位组合和有限差分对帧时间的影响。只有在目标硬件上测过，才能决定是完整计算、查表，还是小体积 fake noise。

小结：三个改进要同时成立

• Noise 用稳定的三维信号表达自然变化，而不是逐像素白噪声。
• 五次 fade 消除端点二阶导数跳变，改善 bump mapping 的连续性。
• 均匀梯度分布减少斑驳；小体积环面平铺配低频相位隐藏重复。
• 有限差分可在像素阶段估计高度梯度，但高频必须服从采样率。
• 算法选择最终由画质、指令、显存和目标硬件共同决定。