《3D数学基础》全书导览

按第二版14章与几何测试附录建立从坐标到曲线、从公式到引擎证据的学习路线。

先做预测

先预测：改变坐标手性、组合顺序、时间步或退化输入时，数值和画面最先在哪里分叉。按第二版14章与几何测试附录建立从坐标到曲线、从公式到引擎证据的学习路线。 本页用、、、和把原书直觉变成可运行证据。

原书章节定位

本页一一对应第二版“《3D数学基础》全书导览”。作者官网给出完整在线目录和正文；站内不重新编排原书章节，而是在同一章内补充公式推导、交互图、工程实现、失败模式与复现实验。

原书小节覆盖

  1. 第1-3章：坐标、向量与空间
  2. 第4-6章：矩阵、线性变换与投影
  3. 第7-9章：极坐标、方位与几何图元
  4. 第10-12章：图形、运动学与动力学
  5. 第13-14章：曲线与后续项目
  6. 附录A：几何测试
  7. 附录B：练习答案

五个核心抓手

  1. 权威目录：第二版由14章、附录A几何测试和附录B练习答案组成。
  2. 空间主线：点和向量通过基、矩阵与层级在物体、世界、相机和裁剪空间流动。
  3. 方位主线：欧拉角、矩阵、轴角和四元数服务于不同编辑、计算和插值任务。
  4. 模拟主线：导数、积分、动量与冲量把轨迹和碰撞变成可验收状态更新。
  5. 证据闭环：每章同时交付推导、代码、交互图、反例和可重放测试。

从空间与约定开始

任何三维公式都先写对象类型、来源空间、目标空间、单位和约定。第二版由14章、附录A几何测试和附录B练习答案组成。 点和向量通过基、矩阵与层级在物体、世界、相机和裁剪空间流动。 若只保存三个或四个浮点数而丢失语义，错误通常会延迟到渲染、碰撞或插值阶段才显现。

C=(object type,source space,target space,units,convention)\mathcal C=(\text{object type},\text{source space},\text{target space},\text{units},\text{convention})

工程接口应让非法组合尽早失败：点与方向不能随意相加，局部法线不能直接与世界光向量点积，度数不能静默传入弧度API。先画出原点和基向量，再检查结果，比只盯最终像素更可解释。

可核查推导

coordinates→vectors→matrices→orientation→geometry→simulation\text{coordinates}\rightarrow\text{vectors}\rightarrow\text{matrices}\rightarrow\text{orientation}\rightarrow\text{geometry}\rightarrow\text{simulation}

前一阶段输出就是后一阶段输入：坐标给出分量，向量表达位移，矩阵变换基，方位控制旋转，几何图元参与渲染与碰撞，微积分把状态推进到下一帧。 推导时每一步标明使用了定义、正交性、单位化、线性、连续性还是近似；若条件被非均匀缩放、退化图元或有限时间步破坏，就必须切换算法或返回显式状态。

official_units=list(range(1,15))+["A"]
assert len(official_units)==15
 
site_pages=1+len(official_units)+1
assert site_pages==17

手算、代码和交互图应在一个非对称样例上得到一致结果。单位矩阵、零角度和原点只能做冒烟测试，因为它们经常让转置、符号和顺序错误互相抵消。

几何机制与数据流

权威目录：第二版由14章、附录A几何测试和附录B练习答案组成。

空间主线：点和向量通过基、矩阵与层级在物体、世界、相机和裁剪空间流动。

方位主线：欧拉角、矩阵、轴角和四元数服务于不同编辑、计算和插值任务。

数据流必须能逐段记录：输入对象先按约定进入数学表示，经变换或求解得到中间状态，再由渲染、物理或工具消费。每个中间状态保留空间标签和残差，才能区分源数据错误、公式错误与下游显示错误。

数值误差与边界

模拟主线：导数、积分、动量与冲量把轨迹和碰撞变成可验收状态更新。

证据闭环：每章同时交付推导、代码、交互图、反例和可重放测试。

边界集至少覆盖零长度、平行、共面、极小尺度、负尺度、角度跨界、时间步变化和浮点接近阈值。相对误差与绝对误差要按量纲选用，不能让一个全局epsilon同时承担位置、角度和点积判断。

eabs=∥y^−y∥,erel=eabsmax⁡(∥y∥,smin)e_{abs}=\|\hat{\mathbf y}-\mathbf y\|,\qquad e_{rel}=\frac{e_{abs}}{\max(\|\mathbf y\|,s_{min})} 
experiment={"normal":"non-symmetric input","boundary":"degenerate or near threshold","counterexample":"按主题跳读却没有固定全书的手性、向量侧和矩阵组合约定。","replay":"fixed inputs and conventions"}
assert set(experiment)=={"normal","boundary","counterexample","replay"}

工程案例

学习时维护一个共享3D沙盒，每完成一章就增加一个可视层和一个断言：从坐标轴、向量与矩阵开始，逐步加入相机、图元、光照、刚体和曲线。 报告同时保存输入、空间约定、参数、关键中间值、残差与调试图层。若重放后结论改变，先比较约定和数据版本，再比较算法实现。

evidence=[("权威目录","definition"),("方位主线","derivation"),("证据闭环","replay")]
assert len({name for name,_ in evidence})==3
  1. 选一个非对称、可手算的正常样例，记录所有空间、单位和正方向。
  2. 一次只改变一个参数，比较公式、代码与交互图的中间状态。
  3. 加入退化或近阈值输入，确认返回状态与容差策略一致。
  4. 固定输入与时间步重放，保存残差、失败原因和未覆盖范围。

验收证书

accept⁡=conventions fixed∧invariants hold∧error within budget∧replay succeeds\operatorname{accept}=\text{conventions fixed}\land\text{invariants hold}\land\text{error within budget}\land\text{replay succeeds}

验收证书拒绝“看起来差不多”。它必须回答用了哪套手性和向量约定、哪个不变量被检查、误差预算是多少、退化输入如何返回，以及另一台机器怎样从输入重建结果。

常见误区

本章回顾

本章覆盖权威目录、空间主线、方位主线、模拟主线、证据闭环。真正掌握的标准是：能从定义推到公式，能把公式落到代码，能通过可交互图解释参数变化，并能在反例下给出稳定且可复现的失败结果。

术语表

复习本章（4 题）

讨论

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