Two-Dimensional Geometric Transformations

Two-Dimensional Geometric Transformations：用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换，以公式、章专属交互和可重放故障证据独立重写。

学习目标

能说明Two-Dimensional Geometric Transformations中的“用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换”，并指出公式中每个量的空间、单位或概率含义
能比较正常基线与“混淆行向量与列向量约定，或按阅读顺序错误相乘”反例，定位基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放中的首个差异
能操作三个章专属实验，让2d transformation、homogeneous coordinate同时具备解释、视觉和练习证据
能修改最小实现、固定输入重放，并判断“Two-Dimensional Geometric Transformations的输入、公式中间量、输出与恢复结果可用同一基线复算”是否重新成立

从一个会失败的图像实验开始

Two-Dimensional Geometric Transformations要回答的不是“这个名词是什么”，而是：在固定输入下，如何验证“用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换”，并让一个反例可重复地推翻错误实现？先写下预期像素、几何或估计量，再运行基线；只要基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放无法指出差异来自哪一步，图像看起来正确也不能通过。

本页的不变量是：Two-Dimensional Geometric Transformations的输入、公式中间量、输出与恢复结果可用同一基线复算。反例“混淆行向量与列向量约定，或按阅读顺序错误相乘”只改变一个条件，因而正常、故障与恢复三次运行应能用同一输入直接比较。

原版、版次与事实来源

Two-Dimensional Geometric Transformations只用Pearson第4版书目与22章目录确定原书单元；未取得正文，因此不宣称复现作者表述。以下机制、公式与代码按图形学定义独立编写，OpenGL 4.6 Core规范与GLSL 4.60规范只核对现代API事实，不替代原书历史内容。

六个检查词

、、、、。这些词共同约束用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换，每个词都必须落到公式、交互状态或可重放输出，不能只出现在术语表。

原书单元与独立机制解释

Two-Dimensional Geometric Transformations

2d transformation 通过矩阵改变点和向量，homogeneous coordinate 把平移提升为矩阵乘法并支持连续组合。矩阵次序表达操作次序，交换两个非交换变换通常会改变结果。

本单元的正式坐标是2d transformation、homogeneous coordinate。验证Two-Dimensional Geometric Transformations时，先制造“混淆行向量与列向量约定，或按阅读顺序错误相乘”，再检查基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放能否把错误定位到用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换的首个分叉。

\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=T R S\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}

先预测，再操作三个章专属实验

分步1 / 3

1. 概念与因果路径

在Two-Dimensional Geometric Transformations中选择任一正式坐标，沿机制链查看它的输入、状态变化和可推翻探针。

图形管线坐标审计

Two-Dimensional Geometric Transformations

把用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换放进输入、变换、离散、外观与显示五个责任阶段。

正式概念

Two-Dimensional Geometric Transformations / 2d transformation

模型/输入

定义图元、属性、数据或交互事件

探针：基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放

当前公式坐标

\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=T R S\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}

原书边界：Donald Hearn、M. Pauline Baker、Warren Carithers《Computer Graphics with OpenGL》第4版。课程实验显式标注坐标和状态，不把现代API示例冒充原书正文。

最小可重现实验

mat3 model = translate(tx, ty) * rotate(theta) * scale(sx, sy);
vec3 world = model * vec3(local.x, local.y, 1);
vec3 roundtrip = inverse(model) * world;
assert(distance(roundtrip.xy, local) < epsilon);

运行Two-Dimensional Geometric Transformations时固定随机种子、输入几何、坐标约定和数值精度；记录编译命令或算法版本、输出摘要与失败条件。实验输出若依赖隐藏全局状态，必须先消除该依赖再比较。

练习与答案

练习

问题 1：公式与边界。 怎样用一个数值样本证明 $\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=T R S\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$ 中的量没有混用空间、单位或概率密度？

问题 2：正式坐标。 2d transformation、homogeneous coordinate如何进入可操作验证？

2d transformation：在专属实验中选中该节点，保存输入与基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放，注入“混淆行向量与列向量约定，或按阅读顺序错误相乘”后恢复并重放。
homogeneous coordinate：在专属实验中选中该节点，保存输入与基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放，注入“混淆行向量与列向量约定，或按阅读顺序错误相乘”后恢复并重放。

问题 3：故障恢复。 如何证明“混淆行向量与列向量约定，或按阅读顺序错误相乘”已经真正修复？

本章回顾

掌握Two-Dimensional Geometric Transformations意味着能将“用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换”写成明确公式或算法，能操作正式坐标，能制造“混淆行向量与列向量约定，或按阅读顺序错误相乘”，还能凭基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放恢复同输入结果，而不是把一段Vulkan生命周期模板换上本章标题。

名词解释

本章出现的专业名词，用大白话再讲一遍。

2d transformation: 2d transformation在Two-Dimensional Geometric Transformations中用于用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换；应由基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放确认，而不是只凭术语出现。
homogeneous coordinate: homogeneous coordinate在Two-Dimensional Geometric Transformations中用于用齐次矩阵组合二维平移、旋转、缩放和绕点变换；应由基点、基向量、组合矩阵和逆变换回放确认，而不是只凭术语出现。
coordinate space: coordinate space：坐标空间声明数值当前属于模型、世界、观察、裁剪或设备阶段。
raster state: raster state：光栅状态决定覆盖、深度、混合和面剔除等离散规则。
reference image: reference image：参考图用固定输入和高质量设置提供误差比较基线。

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